Với \(x\)nguyên bất kì, ta có: \(x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)+5x\left(x^2-1\right)\)

\(=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

Có \(x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)là tích của \(5\)số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho \(2,3,5\)mà \(\left(2,3,5\right)=1\)nên nó chia hết cho \(2.3.5=30\).

\(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)là tích của \(3\)số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho \(2,3\)mà \(\left(2,3\right)=1\)nên chia hết cho \(2.3=6\)do đó \(5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)chia hết cho \(30\).

Vậy \(x^5-x\)chia hết cho \(30\).

Ta có: 

\(a^5+b^5+c^5+d^5-\left(a+b+c+d\right)\)

\(=\left(a^5-a\right)+\left(b^5-b\right)+\left(c^5-c\right)+\left(d^5-d\right)\)chia hết cho \(30\)

nên \(\left(a^5+b^5+c^5+d^5\right)\equiv\left(a+b+c+d\right)\left(mod30\right)\)

mà \(a^5+b^5+c^5+d^5=30\left(c^5+d^5\right)⋮30\)

suy ra \(a+b+c+d\)chia hết cho \(30\).

Gọi quãng đường lúc đi từ Vũng Tàu đến Đồng Tháp là \(x\left(km\right),x>0\).

Thời gian đi là: \(\frac{x}{50}\left(h\right)\).

Quãng đường lúc về là: \(x+10\left(km\right)\).

Thời gian lúc về là: \(\frac{x+10}{60}\left(h\right)\).

Đổi: \(40'=\frac{2}{3}h\).

Ta có phương trình: 

\(\frac{x}{50}=\frac{x+10}{60}+\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=250\)(thỏa mãn) 

Vậy quãng đường lúc đi từ Vũng Tàu đến Đồng Tháp là \(250km\).

Dễ thấy ta có tứ giác ABHD là hình chữ nhật .

xét \(\Delta BHC\text{ vuông tại H}:\Rightarrow HC^2=BC^2-HB^2=BC^2-AD^2=13^2-12^2=25\)

nên \(HC=\sqrt{25}=5\text{ mà }DH=AB=11\text{ nên }CD=DH+HC=11+5=16\)

Ta có a³ + b³ = 2(c³ - 8d³) 

<=> a³ + b³ = 2c³ - 16d³

<=> a³ + b³ + c³ + d³ = 3(c³ - 5d³) \(⋮3\)(1) 

Xét hiệu a³ + b³ + c³  + d³ - (a + b + c + d)

= (a³ - a) + (b³ - b) + (c³ - c) + (d³ - d)

= (a - 1)a(a + 1)  + (b  - 1)b(b + 1) + (d - 1)d(d + 1) \(⋮3\) (tổng các tích 3 số nguyên liên tiếp) 

=>  a³ + b³ + c³  + d³ - (a + b + c + d) \(⋮\)3 (2) 

Từ (1) và (2) => a + b + c + d \(⋮3\)

Ta có a - b + b - c + c - a = 0 \(⋮30\)

=> (a - b) + (b - c) + (c - a) \(⋮\)30 (0) 

Xét hiệu (a - b)⁵ + (b - c)⁵ + (c - a)⁵ - [(a - b) + (b - c) + (c - a)] 

= [(a - b)⁵ - (a - b)] + [(b - c)⁵ - (b - c)] + [(c - a)⁵ - (c - a)]

Nhận thấy : (a - b)⁵ - (a - b) = (a - b)[(a - b)⁴ - 1]

= (a - b)[(a - b)² - 1][(a - b)² + 1] 

= (a - b)[(a - b)² - 1][(a - b)² - 4 + 5]

=  (a - b)[(a - b)² - 1][(a - b)² - 4] +  5(a - b)[(a - b)² - 1]  

= (a - b - 2)(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1)(a - b + 2) + 5(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1)

Nhận thấy (a - b - 2)(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1)(a - b + 2) + 5(a - b - 1) \(⋮\)30 (tích 5 số nguyên liên tiếp) (1)

Lại có (a - b - 1)(a - b)(a - b + 1) \(⋮\)6

=> 5(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1) \(⋮\)30 (2) 

Từ (1) và (2) =>  (a - b - 2)(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1)(a - b + 2) + 5(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1) \(⋮\)30 

=> (a - b)⁵ + (b - c)⁵ + (c - a)⁵ - [(a - b) + (b - c) + (c - a)]  \(⋮\)30 (4) 

Từ (0) ; (4) => (a - b)⁵ + (b - c)⁵ + (c - a)⁵ \(⋮\)30 (đpcm) 

ta có :

\(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên \(a^3-a\text{ chia hết cho 6}\)

ta có : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

ta có tích trên chia hết cho 6 do chứng minh ở ý trên, ta cần chỉ ra nó chia hết cho 5 nữa.

thật vậy: nếu a=5q hoặc a=5q+1 hoặc a=5q+4 thì a(a-1)(a+1) chia hết cho 5

nếu a=5q+2 hoặc a=5q+3 thì \(a^2+1\text{ chia hết cho 5}\)

vậy \(a^5-a\text{ chia hết cho 30}\)

Ta có  a³ - a = a(a² - 1) = (a - 1)a(a + 1) \(⋮6\)(tích 3 số nguyên liên tiếp)

Ta có a⁵  - a = a(a⁴ - 1) = a(a² - 1)(a² + 1) = (a - 1)a(a + 1)(a² + 1) 

= (a - 1)a(a + 1)(a² - 4 + 5) 

= (a - 1)a(a + 1)(a² - 4) + 5(a - 1)a(a + 1)

= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1)

Nhận thấy (a - 1)a(a + 1) \(⋮\)6

=> 5(a - 1)a(a + 1) \(⋮\)30

Lại có (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) \(⋮30\)(tích 5 số nguyên liên tiếp) 

=> a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1) \(⋮\)30

=> a⁵ - a \(⋮30\)

Ta có : \(2014.2012=\left(2013+1\right)\left(2013-1\right)=2013^2-1\)

mà \(2013^2-1< 2013^2\)

Vậy \(2014.2012< 2013^2\)

giúp mình đi huhu