Đề bài chính xác là \(a;b;c>0\) (ko hiểu dấu = có ý nghĩa gì khi mà các mẫu số đều phải khác 0 nên hiển nhiên a;b;c đều khác 0)

Đặt \(P=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\)

Do \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge\dfrac{9}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}\)

\(P\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

\(P\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{7}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)

\(P\ge\dfrac{30}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

đk: \(-2\le x\le4\)

Ta có \(P^2=\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\right)^2\) 

\(\le2\left[\left(\sqrt{x+2}\right)^2+\left(\sqrt{4-x}\right)^2\right]\) (dùng BĐT \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\))

\(=2\left(x+2+4-x\right)\)

\(=12\)

\(\Rightarrow P\le2\sqrt{3}\) (vì \(P>0\))

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+2=4-x\Leftrightarrow x=1\)

Vậy GTLN của P là \(2\sqrt{3}\) khi \(x=1\)

Ta có: \(P=\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\left(-2\le x\le4\right)\)

\(\Leftrightarrow P^2=\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow P^2=x+2+4-x+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(4-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow P^2=6+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(4-x\right)}\) 

Mà: \(6+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(4-x\right)}\le6+x+2+4-x=12\) 

\(\Leftrightarrow P^2\le12\)

\(\Leftrightarrow P\le2\sqrt{3}\)

Dấu  "=" xảy ra khi: \(x+2=4-x\Leftrightarrow2x=2\Leftrightarrow x=1\)

Vậy: \(P_{max}=2\sqrt{3}\Leftrightarrow x=1\)

Đây là bài toán lãi suất kép trong chương trình 12 chứ ko phải lớp 9

Ta có \(\dfrac{1}{\left(a+1\right)\sqrt{a}+a\sqrt{a+1}}\) 

\(=\dfrac{1}{\sqrt{a\left(a+1\right)}\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a\left(a+1\right)}\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a\left(a+1\right)}}\) 

(vì \(\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)=\left(a+1\right)-a=1\))

\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}}-\dfrac{1}{\sqrt{a+1}}\)

Do đó \(B=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}}-\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)

\(=1-\dfrac{1}{10}\)

\(=\dfrac{9}{10}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=27y^3+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=\left(3y+1\right)\left(9y^2-3y+1\right)\)

Gọi \(d=ƯC\left(3y+1;9y^2-3y+1\right)\)

\(\Rightarrow3y\left(3y^2+1\right)-\left(9y^2-3y+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow6y-1⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(3y+1\right)-\left(6y-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3⋮d\)

Mà \(3y+1⋮d\Rightarrow d\ne3\) 

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow3y+1\) và \(9y^2-3y+1\) nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow3y+1\) và \(9y^2-3y+1\) đều là SCP

\(\Rightarrow9y^2-3y+1=n^2\)

\(\Leftrightarrow36y^2-12y+4=4n^2\)

\(\Leftrightarrow\left(6y-1\right)^2+3=\left(2n\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+6y-1\right)\left(2n-6y+1\right)=3\)

\(\Rightarrow y=0\Rightarrow x=\left\{0;2\right\}\)

Do BC là đường kính (O) và D thuộc (O) \(\Rightarrow\widehat{BDC}\) là góc nt chắn nửa đường tròn (O)

\(\Rightarrow\widehat{BDC}=90^0\Rightarrow\widehat{BDA}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{HDA}=90^0\)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat{HEA}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 2 điểm D và E cùng nhìn AH dưới 1 góc vuông nên tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH

a.

\(sđ\stackrel\frown{AB}=\widehat{AOB}=60^0\)

Do BD là đường kính và A thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{DAB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=90^0\)

b.

Do B là điểm chính giữa chung AM

\(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{AB}=sđ\stackrel\frown{MB}\)

\(\Rightarrow AB=MB\)

Gọi chiều rộng khu vườn là x(m)

(ĐK: x>0)

Chiều dài khu vườn là x+6(m)

Chiều dài khi tăng 5m là x+6+5=x+11(m)

Chiều rộng khu vườn khi tăng thêm 3m là x+3(m)

Diện tích tăng thêm 113m² nên ta có phương trình:
(x+11)*(x+3)-x(x+6)=113

=>\(x^2+14x+33-x^2-6x=113\)

=>8x=113-33=80

=>x=10(nhận)

Vậy: Chiều rộng ban đầu là 10m

Chiều dài ban đầu là 10+6=16m

= 0 vì số nào nhân với 0 cũng bằng 0

= 0