Cho góc xAy = 90 độ. Trên Ax lấy điểm B cố định, trên Oy lấy điểm C di động. Vẽ đường tròn tâm O nội tiếp tam gíac ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Hai đoạn thẳng DE và OA cắt nhau tại G. Chứng minh O, D, G, B, F cùng thuộc 1 đường tròn

gọi AB giao ( T ) tại K

có AD là tia phân giác của BAC => sđ cung KD = sđ MD 

mà PBE = 1/2 ( sđ MD - sđ PD) =1/2 ( sđ KD-sđ PD ) =1/2 sđ KP = BAE 

khi CM đc tam giác ABE ~ tam giác BPE ( g - g)

=> BE² = EP.EA

gọi AB giao (T) tại K 

Có AD là tia phân giác của BAC =>sđ cung KD= sđ MD 

Mà PBE =1/2(sđMD-sđPD)=1/2(sđKD-sđPD)=1/2sđKP=BA

Ta CM được : tam giác ABE~tam giác BPE(g.g)

=>BE^2=EP.EA 

a) ta có : 

P là điểm chính giữa cung AC

=> cung AP = cung PC

N là điểm chính giữa cung BC

=> cung NB = NC

Mà : góc IBN = 1/2 cung PN = 1/2 (cung PC + cung CN )

        góc BIN = 1/2 ( cung BN + AP ) 

mà cung PC = cung AP 

      cung BN = cung CN

=> IBN = BIN

=> tam giác IBN là tam giác cân 

b) ta có : N là điểm chính giữa của cung BC 

=>MN là tia phân giác của góc BAC

=> EB/AE=BN/AN

=> đpcm

c) ta có : BNI cân 

NM là tia phân giác 

=> NM cũng là tia trung trực 

=> EBN = EIN 

MÀ IBN = BIN ( tam giác cân ) 

=> EBI=EIB (1) 

=> tam giác EBI cân 

mà P là điểm chính giữa cung AC

=> BP là đường phân giác của góc EBN

=> EBP = IBN hay EBI=IBN (2) 

từ (1) và (2) => IBN=EIB

mà 2 góc ở vị trí slt => EI//BC

d) Xét tam giác BAN và tam giác BDN

có N chung 

   góc BAN = BDN ( cùng chắn cung BN )

=> tam giác BAN đồng dạng tam giác BDN 

=> đpcm

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N 

b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI  

CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = EI.AN => AE.BN = EB.AN

c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt=> EI //BC

d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD \dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AB}{BD}

+) Ta có: ^ACD = ^ACB + ^BCD; ^AEC = ^ABC + ^BAD

Mà ^ACB = ^ABC (∆ABC cân tại A); ^BCD = ^BAD (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

nên ^ACD = ^AEC (1)

+) Dễ có: ∆AEB ~ ∆CED (g.g) nên \(\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{CD}\)(2)

Từ (1) và (2), ta có: ^ACD = ^AEC và \(\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{CD}\)nên ∆AEC ~ ACD (c.g.c)

\(\Rightarrow\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AC^2=AE.AD\)(đpcm)

vì AB =AC => sđ cung AB = sđ cung AC 

=> 1/2 ( sđ CD + sđ AB ) =1/2 ( sđ CD + sđ AC ) 

=> AEB = 1/2 sđ AD =ABD 

CM tam giác ABD ~ tam giác AEB ( g-g) => AC^2 = AD.AE 

...............................................................................................................

..................................................................................................................

.............................................................................................................

các bạn tham khảo nha

Ta có : góc BAM = góc CAM ( AM là tia phân giác của góc BAC )

Suy ra cung BM = cung CM (1)

Lại có : góc DAM = 1/2 sđ góc ACM ( góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung

Hay góc DAM = sđ cung AC + sđ cung CM/2 (2)

Gọi K là giao điểm của BC và AM

Vì góc AKC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn (O) nên :

góc AKC = sđ cung AC + sđ cung BM/2 (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra góc DAM = góc AKC hay góc DAK = góc AKB

có sđ MN + sđ PQ = 1/2 sđ AB + 1/2 sđ BC + 1/2 sđ CD + 1/2 sđ AD = 180 độ 

mà MIN = 1/2 ( sđ MN + sđ PQ ) 

nên MIN = 90 độ => MI vuông góc NI hay MP vuông góc với NQ 

Có sđ MN +sđPQ=1/2sđAB+1/2sđBC +1/2sđCD+1/2sđAD=180độ 

mà MIN =1/2(sđMN+sđPQ)

Nên MIN=90độ =>MI vuông góc MI 

Hay MQ vuông góc NP 

150

ta có: AHD = 1/2( sđAD + sđBE)

BKE = 1/2( sđDC + sđBE ) 

Mà : sđAD = sđDC ( BD là tia phân giác )

=> AHD = BKE 

Ta có ADH = 1/2 (sđAD + sđBE)

BKE = 1/2 (sđDC + sđBE)

Mà DC=AD

⇒ ADH=BKE