O N H E M D P

a) MN là tiếp tuyến đường tròn (O) \(\Rightarrow\widehat{MNP}=90^o\)

DO = ON = OP => \(DO=\frac{1}{2}NP\Rightarrow\widehat{NDP}=90^o\)

- Aps dụng hệ thức lượng cho tam giác MNP vuông tại N đường cao ND , ta có :

MN² = MD . MP ( đpcm )

b) Ta có : PE // OM => PE // OH

Mà O là trung điểm của NP => OH là đường trung bình của tam giác ENP

=> H là trung điểm NE

Vậy : HN = HE ( đpcm )

c) Theo ( c/m câu b ) : HN = HE => \(HE\perp OM\)

Áp dung hệ thức trong tam giác NMO vuông tại N , đường cao NH :

Ta có : ON² = OM . OH => OP² = OM . OH

\(\Rightarrow\frac{OP}{OM}=\frac{OH}{OP}\left(1\right)\)

- Xét 2 tam giác: OHP và OPM

có : \(\frac{OP}{OM}=\frac{OH}{OP}\left(theo\left(1\right)\right)\)

       \(\widehat{O}\)là góc chung

Do đó : \(\Delta OHP~\Delta OPM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OPH}=\widehat{OMP}\left(đpcm\right)\)

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

\(P=\left(a+\frac{1}{b}+1\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}+1\right)^2\ge\frac{\left(a+\frac{1}{b}+1+b+\frac{1}{a}+1\right)^2}{2}\) (BĐT quen thuộc)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{361}a\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{4}{361}b\right)+\frac{357}{361}\left(a+b\right)+2\right]^2\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4}{19}+\frac{4}{19}+\frac{357}{361}\cdot19+2\right)^2=\left(\frac{403}{38}\right)^2\)

Dấu "='' xảy ra khi: \(a=b=\frac{19}{2}\)

Sai thì bỏ qua:))

\(\left(a+\frac{1}{b}+1\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}+1\right)^2\ge\frac{\left[\left(a+\frac{1}{b}+1\right)+\left(b+\frac{1}{a}+1\right)\right]^2}{2}\)\(=\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}+2\right)^2}{2}=\frac{\left(19+\frac{4}{19}+2\right)^2}{2}=...\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{19}{2}\)

- Giả sử \(2\ge a>b>c\ge0\)

- Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số , ta có :

 \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\left(a-b\right)+\left(a-b\right)\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}.\left(a-b\right).\left(a-b\right)}=3\)

+

 \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\left(b-c\right)+\left(b-c\right)\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b-c\right)^2}.\left(b-c\right).\left(b-c\right)}=3\)

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+2\left(a-c\right)\ge6\)

Do đó : \(P\ge\frac{1}{\left(a-c\right)^2}-2\left(a-c\right)+6\)

Do \(2\ge a>b>c\ge0\Rightarrow2\ge a-c>0\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2^2}-2.2+6=\frac{9}{4}\)

Vậy : \(MinP=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a=2;b=1;c=0\)và các hoàn vị của nó

- Gọi số áo phải may theo kế hoạch trong 1 ngày là x \(\left(x\in N,x>0\right)\)

- Thời gian quy định may xong 3000 áo là  \(\frac{3000}{x}\)( ngày )

- Số áo thực tế may được trong 1 ngày là : x + 6 ( áo )

- Thời gian may xong 2650 áo là \(\frac{2650}{x+6}\)( ngày )

- Vì xưởng may xong 2650 áo trước khi hết han 5 ngày nên ta có phương trình :

\(\frac{3000}{x}-5=\frac{2650}{x+6}\)

Giải PT trên :

\(3000\left(x+6\right)-5x\left(x+6\right)=2650x\)hay \(x^2-64x-3600=0\)

\(\Delta'=32^2+3600=4624\); \(\sqrt{\Delta'}=68\)

\(x_1=32+68=100\); \(x_2=32-68=-36\)

\(x_2=-36\left(KTM\right)\)

vậy theo kế hoạch , mỗi ngày xưởng đó phải may xong 100 áo

Gọi số áo mà xưởng may trong một ngày theo kế hoạch là x ( x > 0 )

Số ngày may xong 3000 áo là \(\frac{3000}{x}\)( ngày )

Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may thêm nhiều hơn 6 áo

=> Thực tế mỗi xưởng đã may được ( x + 6 ) áo

5 ngày trước khi hết hạn là \(\frac{3000}{x}-5\)( ngày )

Thời gian xưởng may xong 2650 áo là \(\frac{2650}{x+6}\)( ngày )

5 ngày trước khi hết hạn = thời gian xưởng may xong 2650 áo

=> Ta có phương trình :\(\frac{3000}{x}-5=\frac{2650}{x+6}\)

<=> \(\frac{3000}{x}-5-\frac{2650}{x+6}=0\)

<=> \(\frac{3000\left(x+6\right)}{x\left(x+6\right)}-\frac{5x\left(x+6\right)}{x\left(x+6\right)}-\frac{2650x}{x\left(x+6\right)}=0\)

<=> \(\frac{3000x+18000-5x^2-30x-2650x}{x\left(x+6\right)}=0\)

<=> \(\frac{-5x^2+320x+18000}{x\left(x+6\right)}=0\)

=> -5x² + 320x + 18000 = 0

Δ' = b'² - ac = 160² - (-5).18000 = 115 600

Δ' > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

\(x_1=\frac{-b'+\sqrt{\text{Δ}'}}{a}=\frac{-160+\sqrt{115600}}{-5}=-36\left(loai\right)\)

\(x_2=\frac{-b'-\sqrt{\text{Δ}'}}{a}=\frac{-160-\sqrt{115600}}{-5}=100\left(nhan\right)\)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may 100 áo 

Phương trình có các hệ số là a = 3 ; b = 5 ; c = -1

\(\Delta=5^2-4.3.\left(-1\right)=25+12=37\)

Do \(\Delta>0\), ta áp dụng công thức nghiệm , phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

\(x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6}\); \(x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}\)

Ta có: \(\Delta=5^2-4.3.\left(-1\right)=37>0\)

\(\Rightarrow\)Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:\(x=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{6}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: \(x=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{6}\)