a, Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=u\\\frac{1}{y}=v\end{cases}}\left(u;v\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}u+v=\frac{5}{6}\\\frac{1}{6}u+\frac{1}{5}v=\frac{3}{20}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}u=\frac{5}{6}-v\left(1\right)\\\frac{1}{6}u+\frac{1}{5}v=\frac{3}{20}\left(2\right)\end{cases}}\)

Thay (1) vào (2) ta được : \(\frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}-v\right)+\frac{1}{5}v=\frac{3}{20}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{36}-\frac{v}{6}+\frac{v}{5}=\frac{3}{20}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-v}{6}+\frac{v}{5}=\frac{3}{20}-\frac{5}{36}\Leftrightarrow\frac{v}{30}=\frac{1}{90}\Leftrightarrow v=\frac{1}{3}\)(*)

hay \(v=\frac{1}{3}=\frac{1}{y}\Rightarrow y=3\)

Thay (*) vào (1) ta được : \(u=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)hay \(u=\frac{1}{2}=\frac{1}{x}\Rightarrow x=2\)

Vậy x = 2 ; y = 3 

b, \(\hept{\begin{cases}4\left(x+y\right)=5\left(x-y\right)\\\frac{40}{x+y}+\frac{40}{x-y}=9\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{4}{x-y}=\frac{5}{x+y}\left(1\right)\\\frac{40}{x+y}+\frac{40}{x-y}=9\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét phương trình 1 ta có : \(\frac{4}{x-y}-\frac{5}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{4\left(x+y\right)-5\left(x-y\right)}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}=0\Leftrightarrow4x+4y-5x+5y=0\)

\(\Leftrightarrow-x+9y=0\Leftrightarrow x=9y\)(*) 

Thay vào 2 ta có : \(\frac{40}{9y+y}+\frac{40}{9y-y}=9\)

\(\Leftrightarrow\frac{4}{y}+\frac{5}{y}=9\Leftrightarrow\frac{9}{y}=9\Leftrightarrow y=1\)

Thay y = 1 vào (*) ta có : \(x=9.1=9\)

Vậy x = 9 ; y = 1

Phương trình đâu bạn ?

$x=144,$ $y=36$.

G/s đường thẳng đi qua A và B có công thức \(d:y=ax+b\left(a\ne0\right)\)

Vì \(A\left(3;5\right)\) và \(B\left(-1;-7\right)\) nên ta có: \(\hept{\begin{cases}5=3a+b\\-7=-a+b\end{cases}}\)

Trừ vế với vế đi ta được: \(5-\left(-7\right)=3a+b-\left(-a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow4a=12\Rightarrow a=3\Rightarrow b=-4\)

Khi đó đường thẳng d là: \(y=3x-4\)

Vì 3 điểm A,B,C thẳng hàng nên C thuộc đường thẳng d

Mà điểm C có hoành độ là 1 nên thay vào: \(y=3\cdot1-4=-1\)

=> Điểm C có tọa độ (1;-1)

gọi phương trình đường thẳng đi qua AB là y=ax+b

ta có : * 5=3a+b

            *-7=-a+b

giải hệ phương trình ta được a=3 và b=-4  

vậy phương trình đường thẳng AB là y=3x-4

vì C có hoành độ bằng 1 thay vào phương trình đường thẳng AB ta được 

1=3x-4=>x=5/3

vậy c có tọa độ gia điểm (5/3,1) thì A,B,C thẳng hàng

Bây giờ ta sẽ đi tìm tọa độ giao điểm của 3 đường thẳng trên

Với (d₁) và (d₂) cắt nhau tại điểm \(A\left(x_1;y_1\right)\) nên khi đó:
\(\hept{\begin{cases}y_1=3x_1-2\\y_1=-\frac{1}{3}x_1+\frac{4}{3}\end{cases}}\Rightarrow3x_1-2=-\frac{1}{3}x_1+\frac{4}{3}\Leftrightarrow\frac{10}{3}x_1=\frac{10}{3}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=1\\y_1=1\end{cases}}\)

Vậy \(A\left(1;1\right)\)

Tương tự gọi B,C là giao điểm của đường (d₃) với (d₂) , (d₁) 

Khi đó ta dễ dàng tính được: \(B\left(4;0\right)\) ; \(C\left(2;4\right)\)

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng ta có:
\(AB=\sqrt{\left(1-4\right)^2+\left(1-0\right)^2}=\sqrt{10}\Rightarrow AB^2=10\)

\(AC=\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(1-4\right)^2}=\sqrt{10}\Rightarrow AC^2=10\)

\(BC=\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(0-4\right)^2}=\sqrt{20}\Rightarrow BC^2=20\)

Xét tam giác ABC có: \(\hept{\begin{cases}AB=AC\\AB^2+AC^2=BC^2\left(=20\right)\end{cases}}\)

=> Tam giác ABC vuông cân tại A

=> đpcm

giao điểm của d1 với d2 là : y=3x-2

                                              y=-1/3x+4/3

                                           <=> 3x -2 =-1/3+4/3

                                                    y=3x-2

                                               <=> x=1

                                                       y=1

vaaky giao điểm của d1 và d2 có tọa độ A(1,1)

tương tự ta được giao điểm của: d2 với d3 có tọa độ B (4,0)

                                                       d3 với d1 có tọa độ C(2,4)

độ dài AB là\(\sqrt{\left(Xa-Xb\right)^2+\left(Ya+Yb\right)^2}\)=\(\sqrt{\left(1-4\right)^2+\left(1-0\right)^2}\)=\(\sqrt{10}\)

tương tư ta được AC= \(\sqrt{10}\)

=> AB=AC ; d1 vuông góc d2 vì 3.(-1/3)=-1

=> tam giác ABC VUÔNG CÂN

 $m=3$ hoặc $m=1$.

\(\left\{{}\begin{matrix}2y=1-mx\\3x+\left(m+1\right)y=-1\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1-mx}{2}\\3x+\left(m +1\right)y=-1\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1-mx}{2}\\3x+\left(m+1\right).\dfrac{1-mx}{2}=-1\end{matrix}\right.\)

xét phương trình 2 ta được ; (m-2)(m+3)x=m+3

với m=2 thì hpt vô nghiệm, m=3 thì hpt có nghiệm với mọi m

xét pt 1 ta được y=1+3x/2=x+1+x-1/2 thuộc Z

                                          =>x-1=2k

                                           =>x=2k+1

do đó y=3k+2 với m\(\ne\)3 và m\(\ne\)2 thì x=1/m-2 thuộc Z

                         =>m-2 thuộc\(\left\{-1,1\right\}\)=.> m thuộc\(\left\{1,3\right\}\)thỏa mãn

- Nếu \(k\)chẵn thì \(k=2n,n\inℕ^∗\). 

\(\left(2k\right)^2=\left(2.2n\right)^2=16n^2⋮8\)nên dư bằng \(0\)khi chia cho \(8\).

- Nếu \(k\)lẻ thì \(k=2n+1,n\inℕ^∗\).

\(\left(2k\right)^2=\left[2.\left(2n+1\right)\right]^2=\left(4n+2\right)^2=16n^2+16n+4\)chia \(8\)dư \(4\).

xét vói mọi \(x_1< x_2< 0\) ta có 

\(f\left(x_1\right)=3x_1^2>3x_2^2=f\left(x_2\right)\)

Do đó hàm số nghịch biến khi x<0

\(A=1-\left(\frac{2}{1+2\sqrt{x}}-\frac{5\sqrt{x}}{4x-1}-\frac{1}{1-2\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{4x+4\sqrt{x}+1}\)

\(=1-\left(\frac{2\left(1-2\sqrt{x}\right)+5\sqrt{x}-1-2\sqrt{x}}{\left(1+2\sqrt{x}\right)\left(1-2\sqrt{x}\right)}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2}\)

\(=1-\frac{1-\sqrt{x}}{\left(1+2\sqrt{x}\right)\left(1-2\sqrt{x}\right)}.\frac{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2}{\sqrt{x}-1}=1-\frac{1+2\sqrt{x}}{1-2\sqrt{x}}=2-\frac{2}{1-2\sqrt{x}}\)

để A là số nguyên thì \(1-2\sqrt{x}\) là ước của 2 khi đó ta tìm được \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)

Ta cần tìm min \(P=\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\)

Ta có: \(\frac{a}{3-a^2}-\frac{a^2}{2}=\frac{\left(a-1\right)^2a\left(a+2\right)}{2\left(3-a^2\right)}\ge0\forall a>0\)

Tương tự rồi cộng lại, ta được: \(P=\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Theo đề:  \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}=4\Rightarrow8=\sqrt{4\left(a+1\right)}+\sqrt{4\left(b+1\right)}\)\(\le\frac{4+\left(a+1\right)}{2}+\frac{4+\left(b+1\right)}{2}=5+\frac{a+b}{2}\Rightarrow a+b\ge6\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: \(P=a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{6^2}{2}\right)^2}{2}=162\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 3