a) Dễ chứng minh: \(\Delta AEF~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

Tương tự: \(\widehat{CED}=\widehat{CBA}\)từ đó suy ra \(\widehat{AEF}=\widehat{CED}\)

Mà \(BE\perp AC\Rightarrow\widehat{FEH}=\widehat{DEH}\)hay EH là phân giác của \(\widehat{FED}\)

Tương tự: DH là phân giác của  \(\widehat{EDF}\) 

                 FH là phân giác của\(\widehat{EFD}\)

​Do đó H là giao điểm ba đường phân giác trong\(\Delta DEF\)​hay H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF (đpcm)

b) AK là đường kính nên \(\widehat{ACK}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat{ABC}=\widehat{AKC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) \(\Rightarrow\Delta ADB~\Delta ACK\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AK}=\frac{AD}{AC}\)hay \(2R=\frac{AB.AC}{AD}=\frac{AB.AC.BC}{BC.AD}=\frac{AB.AC.BC}{2S}\)

\(\Rightarrow S=\frac{AB.BC.AC}{4R}\)(đpcm)

????????????????????????????????????????????

hỏi đi men

Gọi chiều rộng là : \(x\left(y>x>0;x\in N\right)\)

Gọi chiều dài là : \(y\left(y>0;y\in N\right)\)

Vì khu vườn có chu vi là 104 m nên:

          \(2\left(x+y\right)=104\)

     \(\Leftrightarrow x+y=52\)(1)

Vì nếu tăng chiều rộng lên 3 lần, tăng chiều dài lên 2 lần thì chu vi mới là 252 m nên:

    \(2\left(3x+2y\right)=252\)

 \(\Leftrightarrow3x+2y=126\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

   \(\hept{\begin{cases}x+y=52\\3x+2y=126\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=52-y\\3\left(52-y\right)+2y=126\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=52-y\\y=30\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=22\\y=30\end{cases}\left(tm\right)}\)

Vậy chiều rộng là 22 m; chiều dài là 30 m

P/S: phần giải hệ làm hơi tắt ^^

Theo bà ra ta có : 

\(f\left(2\sqrt{3}\right)=\left(m+1\right)x-2=\left(m+1\right)\left(2\sqrt{3}\right)-2\)

\(=\sqrt{12}\left(m+1\right)-2\)

\(f\left(3\sqrt{2}\right)=\left(m+1\right)x-2=\left(m+1\right)3\sqrt{2}-2\)

\(=\sqrt{18}\left(m+1\right)-2\)

vì 12 < 18 => \(\sqrt{12}< \sqrt{18}\)

hay \(f\left(2\sqrt{3}\right)< f\left(3\sqrt{2}\right)\)