a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó;ΔACB vuông tại C

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét tứ giác BCEI có \(\widehat{BIE}+\widehat{BCE}=90^0+90^0=180^0\)

nên BCEI là tứ giác nội tiếp

=>B,C,E,I cùng thuộc một đường tròn

b: Xét ΔAMB vuông tại M có MI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AM^2\)

Xét ΔAIE vuông tại I và ΔACB vuông tại C có

\(\widehat{IAE}\) chung

Do đó: ΔAIE~ΔACB

=>\(\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

=>\(AI\cdot AB=AC\cdot AE\)

=>\(AC\cdot AE=AM^2\)

a: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét tứ giác BEFI có \(\widehat{BEF}+\widehat{BIF}=90^0+90^0=180^0\)

nên BEFI là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAIF vuông tại I và ΔAEB vuông tại E có

\(\widehat{FAI}\) chung

Do đó: ΔAIF~ΔAEB

=>\(\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\)

=>\(AI\cdot AB=AF\cdot AE\)

Xét ΔACB vuông tại C có CI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AC^2\)

=>\(AC^2=AF\cdot AE\)

Câu 3.2

Để pt có 2 nghiệm pb thì:

$\Delta=(2m+3)^2+4(2m+4)>0$

$\Leftrightarrow (2m+3)^2+4(2m+3)+4>0$

$\Leftrightarrow (2m+3+2)^2>0\Leftrightarrow (2m+5)^2>0$

$\Leftrightarrow 2m+5\neq 0$

$\Leftrightarrow m\neq \frac{-5}{2}$

Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt (1) thì:

$x_1+x_2=2m+3$

$x_1x_2=-2m-4$

$\Rightarrow x_1+x_2+x_1x_2+1=0$

$\Leftrightarrow (x_1+1)(x_2+1)=0$

$\Leftrightarrow x_1=-1$ hoặc $x_2=-1$

Nếu $x_1=-1$ thì $x_2=2m+4$. Nếu $x_2=-1$ thì $x_1=2m+4$

Không mất tổng quát giả sử $x_1=-1; x_2=2m+4$

Khi đó:

$|x_1|+|x_2|=5$

$\Leftrightarrow |-1|+|2m+4|=5$

$\Leftrightarrow |2m+4|=4$

$\Leftrightarrow 2m+4=\pm 4$

$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=-4$

Do $m> \frac{-5}{2}$ nên $m=0$

Lời giải:
a.

Khi $m=1$ thì PT trở thành:
$x^2-4x+4=0$

$\Leftrightarrow (x-2)^2=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2$
b.

Để PT có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+1)^2-(m^2-2m+5)>0$

$\Leftrightarrow m>1$
Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2(m+1)$

$x_1x_2=m^2-2m+5$

Với $m>1$ thì $x_1+x_2=2(m+1)>0; x_1x_2=m^2-2m+5>0$

$\Rightarrow x_1>0; x_2>0$
Khi đó:

$\sqrt{4x_1^2+4mx_1+m^2}+\sqrt{x_2^2+4mx_2+4m^2}=7m+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(2x_1+m)^2}+\sqrt{(x_2+2m)^2}=7m+2$

$\Leftrightarrow |2x_1+m|+|x_2+2m|=7m+2$

$\Leftrightarrow 2x_1+m+x_2+2m=7m+2$

$\Leftrightarrow x_1+(x_1+x_2)=4m+2$

$\Leftrightarrow x_1+2m+2=4m+2$

$\Leftrightarrow x_1=2m$

$x_2=2(m+1)-x_1=2$
$m^2-2m+5=x_1x_2=2m.2=4m$

$\Leftrightarrow m^2-6m+5=0$

$\Leftrightarrow (m-1)(m-5)=0$

Do $m>1$ nên $m=5$

Lời giải:
a.

Khi $m=1$ thì PT trở thành:
$x^2-4x+4=0$

$\iff (x-2{)}^2=0\iff x-2=0\iff x=2$
b.

Để PT có 2 nghiệm pb $x^1,x^2$ thì:

${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m^2-2m+5)>0$

$\iff m>1$
Áp dụng định lý Viet:

$x^1+x^2=2(m+1)$

$x^1{x}^2=m^2-2m+5$

Với $m>1$ thì $x^1+x^2=2(m+1)>0;x^1{x}^2=m^2-2m+5>0$

$\Rightarrow x^1>0;x^2>0$
Khi đó:

$\sqrt{4x^1+4m{x}^1+m^2}+\sqrt{x^2+4m{x}^2+4m^2}=7m+2$

$\iff \sqrt{(2x^1+m{)}^2}+\sqrt{(x^2+2m{)}^2}=7m+2$

$\iff |2x^1+m|+|x^2+2m|=7m+2$

$\iff 2x^1+m+x^2+2m=7m+2$

$\iff x^1+(x^1+x^2)=4m+2$

$\iff x^1+2m+2=4m+2$

$\iff x^1=2m$

$x^2=2(m+1)-x^1=2$
$m^2-2m+5=x^1{x}^2=2m.2=4m$

$\iff m^2-6m+5=0$

$\iff (m-1)(m-5)=0$

Do $m>1$ nên $m=5$

Câu 3:

Ta thấy $\Delta'=(m^2+2)^2+2m^2+5>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=-2(m^2+2)$

$x_1x_2=-2m^2-5$
$\Rightarrow x_1x_2+1=x_1+x_2$

$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=0$

$\Leftrightarrow x_1=1$ hoặc $x_2=1$

Nếu $x_2=1$ thì $x_1=(-2m^2-5):x_2=-2m^2-5$

Mà $x_1>x_2$ nên $-2m^2-5>1$ (vô lý) 

Do đó $x_1=1$. Khi đó $x_2=-2m^2-5$

Ta có:

$x_1x_2+8x_1^3+5=0$

$\Leftrightarrow -2m^2-5+8+5=0$

$\Leftrightarrow 8=2m^2$

$\Leftrightarrow m^2=4\Leftrightarrow m=\pm 2$

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2=mx-2m+4\Leftrightarrow x^2-mx+2m-4=0\)

\(\left(d\right),\left(P\right)\) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt, tức là:

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(2m-4\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-8m+16>0\Leftrightarrow\left(m-4\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne4.\)

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-4\end{matrix}\right.\).

Theo đề: \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(\Rightarrow A=m^2-2\left(2m-4\right)=m^2-4m+8\)

\(\Rightarrow A=\left(m-2\right)^2+4\ge4\)

.Vậy: \(A_{min}=4\Leftrightarrow m=2\) (thỏa mãn).

Yêu cầu đề bài là gì vậy bạn?

Hỏi mô tô đi từ A đến B trên tuyến đường mới tiết kiệm được khoảng bao nhiêu thời gian so với đi trên đường cũ ?

Đây nha bạn.

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$AC^2=CH.BC=CH(CH+BH)$

$\Leftrightarrow 8=CH(CH+2)$

$\Leftrightarrow CH^2+2CH-8=0$

$\Leftrightarrow (CH-2)(CH+4)=0$

$\Leftrightarrow CH=2$ (do $CH>0$)

$BC=BH+CH=2+2=4$ 

H là điểm như thế nào vậy bạn?

Lời giải:

Bán kính phần đáy hình trụ: $6:2=3$ (cm)

Thể tích phần hình trụ:

$3^2.3,14.3=84,78$ (cm³)

Thể tích phần hình nón:

$\frac{1}{3}.3^2.3,14.4=37,68$ (cm³)

Thể tích chi tiết máy: $84,78+37,68=122,46$ (cm³)