a) Phương trình \(x^2-2mx-2m-1=0\)có các hệ số a = 1; b = - 2m; c = - 2m - 1

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(-2m-1\right)=4m^2+8m+4=4\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x₁, x₂ với mọi m (đpcm)

b) Theo Viète, ta có: \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=-2m-1\)

Hệ thức \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-5}{2}\Leftrightarrow2\left(x_1^2+x_2^2\right)=-5x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]=-5x_1x_2\)hay \(2\left(4m^2+4m+2\right)=10m+5\Leftrightarrow8m^2-2m-1=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\m=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

Vậy \(m=\frac{1}{2}\)hoặc \(m=-\frac{1}{4}\)thì phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-5}{2}\)

\(P=\frac{1}{\sqrt{a+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}}=\frac{4}{\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}}\)

Ta có: 

\(\left(\sqrt{a+3}.1+\sqrt{b+3}.1\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a+3+b+3\right)\le16\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}\le\sqrt{16}=4\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{4}{\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}}\ge\frac{4}{4}=1\).

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=1\).

\(P=\frac{1}{\sqrt{a+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}\Rightarrow P^2=\left(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}\right)+\frac{2}{\sqrt{\left(a+3\right)\left(b+3\right)}}\)\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)+6}+\frac{2}{\frac{\left(a+3\right)+\left(b+3\right)}{2}}=\frac{8}{a+b+6}\ge\frac{8}{2+6}=1\)

\(\Rightarrow P\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1

Ta có A = 5x² - 2xy + 2y² - 4x + 2y + 3

=> 2A = 10x² - 4xy + 4y² - 8x + 4y + 6

= (x² - 4xy + 4y²) - 2(x - 2y) + 1 + 9x² - 6x + 1 + 4

= \(\left(x-2y\right)^2-2\left(x-2y\right)+1+9\left(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)+4\)

\(=\left(x-2y-1\right)^2+9\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+4\)\(\ge4\)

=> A \(\ge\)2 

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-2y-=0\\x-\frac{1}{3}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2y=1\\x=\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-\frac{1}{3}\\x=\frac{1}{3}\end{cases}}\)

Vậy khi x = 1/3 ; y = -1/3 thì A đạt GTNN

\(A=5x^2+2y^2-2xy-4x+2y\)\(+3\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\)\(\left(4x^2-4x+1\right)+\)\(\left(y^2+2y+1\right)+1\)

\(Tacó\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+9y^2=10\\x+3y+8=12xy\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+6xy+9y^2=10+6xy\\x+3y=12xy-8\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+3y\right)^2=10+6xy\\\left(x+3y\right)^2=\left(12xy-8\right)^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow10+6xy=\left(12xy-8\right)^2\)

\(\Leftrightarrow144x^2y^2-198xy+54=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xy=1\\xy=\frac{3}{8}\end{cases}}\)

- Với \(xy=1\): 

\(\hept{\begin{cases}xy=1\\x+3y+8=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{x}\\x+\frac{3}{x}-4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3,y=\frac{1}{3}\\x=1,y=1\end{cases}}\)

- Với \(xy=\frac{3}{8}\):

\(\hept{\begin{cases}xy=\frac{3}{8}\\x+3y+8=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{3}{8x}\\x+\frac{9}{8x}+4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-7-\sqrt{31}}{4},y=\frac{-7+\sqrt{31}}{12}\\x=\frac{-7+\sqrt{31}}{4},y=\frac{-7-\sqrt{31}}{12}\end{cases}}\)

Thử lại ta đều thấy thỏa mãn. 

Đặt giá tiền một quyển vở và một cái bút lần lượt là \(x,y\)(đồng), \(x,y>0\).

Theo bài ra, ta có hệ phương trình: 

\(\hept{\begin{cases}8x+15y=88500\\13x+9y=90000\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}24x+45y=265500\\65x+45y=450000\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}41x=184500\\y=\frac{90000-13x}{9}\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4500\\y=3500\end{cases}}\left(tm\right)\)

em chịu thôi