Ta có: \(x^3+y^3+z^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}+\frac{z^4}{z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right)^2}{x+y+z}\)\(=\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^4}{9}}{x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)(Bunhiacopski)

\(\Rightarrow\left(x^3+y^3+z^3\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^6}{81}\ge\frac{\left[3\left(xy+yz+zx\right)\right]^3}{81}=9\)

Áp dụng bất đẳng thức Min - cốp - xki, ta được: \(P=\sqrt{x^6+y^6+1}+\sqrt{y^6+z^6+1}+\sqrt{z^6+x^6+1}\)\(\ge\sqrt{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2+\left(x^3+y^3+z^3\right)^2+\left(1+1+1\right)^2}\ge3\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Với ĐK : xy + yz + xz = 3 và Min P = \(\sqrt{x^6+y^6+1}+\sqrt{x^6+z^6+1}+\sqrt{z^6+y^6+1}\) , ta có ĐK :

xy + yz = 3 - xz => xy ; yz ; xz < 3 ; xy = yz = xz = 2 => 2 + 2 + 2 = 3 ( \(\varnothing\)) .

Suy ra : xy = yz = xz = 1 => x = y = z = 1 vì xy + yz + xz = 1 + 1 + 1 = 3.

Từ đó , có tiếp : \(\sqrt{x^6+y^6+1}+\sqrt{x^6+z^6+1}+\sqrt{z^6+y^6+1}\)

\(=\sqrt{1^6+1^6+1}+\sqrt{1^6+1^6+1}\sqrt{1^6+1^6+1}\)

\(=\sqrt{1+1+1}+\sqrt{1+1+1}+\sqrt{1+1+1}\)

\(=3\sqrt{3}\)

=> \(minP=3\sqrt{3}\)

có ở trong câu hỏi tương tự nhé

\(S=13\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}\right)+13\left(\frac{b}{24}+\frac{c}{48}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{2}{ab}\right)+\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}+\frac{2}{ac}\right)+\left(\frac{b}{8}+\frac{c}{16}+\frac{2}{bc}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{c}{12}+\frac{8}{abc}\right)\)Cô si các ngoặc là được nhé 

Áp dụng bđt: \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) (*)

CM bđt trên đúng: Từ (*) <=> \(\frac{4}{x+y}\le\frac{x+y}{xy}\) <=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) <=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

Khi đó, ta có: \(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{a+b+a+c}\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\) (1)

CMTT: \(\frac{b}{a+2b+c}\le\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)(2)

\(\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\) (3)

Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế:

\(\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\)

Ta có: \(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\)

\(=\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)

\(\ge\left(a+c\right)\cdot\frac{4}{a+b+c+d}+\left(b+d\right)\cdot\frac{4}{a+b+c+d}\)

\(=\left(a+b+c+d\right)\cdot\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = d 

\(3a-4b=7\Leftrightarrow b=\frac{3a-7}{4}\)

\(3a^2+4b^2=3a^2+4.\left(\frac{3a-7}{4}\right)^2=3a^2+\frac{1}{4}\left(9a^2-42a+49\right)\)

\(=\frac{21}{4}a^2-\frac{21}{2}a+\frac{49}{4}=\frac{21}{4}\left(a^2-2a+1\right)+\frac{28}{4}\)

\(=\frac{21}{4}\left(a-1\right)^2+7\ge7\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=1\Rightarrow b=-1\),

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho 4 số \(\sqrt{3};\sqrt{3}a;\sqrt{4};\sqrt{4}b\)

\(\left|3a+4b\right|=\left|\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}a+\sqrt{4}\cdot\sqrt{4}b\right|\le\sqrt{\left(3+4\right)\left(3a^2+4b^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow3a^2+4b^2\ge7\)

Áp dụng BĐT  Bunhiacopxki dạng phân thức 

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra <=> a = b = c 

KẾT QUẢ ĐÂY NHA: 

Theo giả thiết: \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{ac}}\Leftrightarrow b^2\le ac\Leftrightarrow\frac{ac}{b^2}\ge1\)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b\left(a+c\right)=2ac\Leftrightarrow2ac-bc=ab\Leftrightarrow2a-b=\frac{ab}{c}\)\(\Rightarrow\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+b}{\frac{ab}{c}}=\frac{ac+bc}{ab}=\frac{c}{b}+\frac{c}{a}\)(1)

Tương tự: \(\frac{b+c}{2c-b}=\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\)(2)

Cộng từng vế hai đẳng thức (1), (2) và áp dụng Cô - si, ta được: \(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\ge\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\ge4\sqrt[4]{\frac{ca}{b^2}}\ge4\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta được: \(\frac{a^2+9b^2}{a-3b}=\frac{\left(a^2-6ab+9b^2\right)+6ab}{a-3b}=\frac{\left(a-3b\right)^2+6ab}{a-3b}\)\(=\left(a-3b\right)+\frac{6ab}{a-3b}\ge2\sqrt{\left(a-3b\right).\frac{6ab}{a-3b}}=2\sqrt{6ab}=2\sqrt{6}\)(đpcm)