Đặt \(A=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\ge0\)

\(\to A^2=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+2\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\cdot\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\\ \to A^2=\dfrac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2+\left(2-\sqrt{3}\right)^2}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}+2\\ \to A^2=\dfrac{7+4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}}{4-3}+2\\ \to A^2=14+2=16\\ \to A=4\)

\(\left(\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\right)+\left(\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\right)\\ =\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}.\sqrt{2-\sqrt{3}}}+\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}.\sqrt{2+\sqrt{3}}}\\ =\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}+\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}\\ =\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}\\ =\dfrac{\left|\sqrt{3}+1\right|}{\left|\sqrt{3}-1\right|}+\dfrac{\left|\sqrt{3}-1\right|}{\left|\sqrt{3}+1\right|}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2+\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ =\dfrac{4+2\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3^2}-1}\\ =\dfrac{8}{2}\\ =4\)

\(a,\\ \text{ĐL đường p/g: }\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{36}{60}=\dfrac{3}{5}\\ \text{Hệ thức lượng: }\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{\dfrac{AB^2}{BC}}{\dfrac{AC^2}{BC}}=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}\\ b,BC=BD+CD=HB+HC=96\left(cm\right)\\ \to\dfrac{9}{25}HC+HC=96\\ \to HC=\dfrac{1200}{17}\to HB=\dfrac{432}{17}\\ \to AH=\sqrt{HC\cdot HB}=\dfrac{720}{17}\left(cm\right)\)

a: tan B=3/4

=>AC/AB=3/4

=>AC=3cm

BC=căn 3^2+4^2=5cm

sin B=AC/BC=3/5

=>góc B=37 độ

=>góc C=53 độ

b: cos B=2/5

=>sin B=căn 21/5

=>AC/BC=căn 21/5

=>BC=50/căn 21(cm)

=>AB=20/căn 21(cm)

cos B=2/5

=>góc B=67 độ

=>góc C=23 độ

c: \(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

=>100-BC^2=6*8=48

=>BC=2*căn 13cm

\(\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{BC}{sinA}\)

=>2*căn 13/sin60=6/sinC=8/sinB

=>góc C=46 độ; góc B=180-60-46=74 độ

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\\ \to\dfrac{1}{23,04}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\\ \to\dfrac{1}{23,04}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}AB^2}\\ \to\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{4}{3AB^2}=\dfrac{1}{23,04}\\ \to\dfrac{7}{3AB^2}=\dfrac{1}{23,04}\\ \to AB^2=53,76\\ \to AB=\dfrac{8\sqrt{21}}{5}\left(cm\right)\\ \to AC=\dfrac{32\sqrt{21}}{15}\left(cm\right)\\ \to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\dfrac{8\sqrt{21}}{3}\left(cm\right)\)

Hệ thức lượng:

\(HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{24\sqrt{21}}{25}\left(cm\right)\\ HC=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{7168-200\sqrt{21}}{75}\left(cm\right)\)

a: BC=căn 6^2+8^2=10cm

sin C=AB/BC=3/5

=>góc C=37 độ

=>góc B=53 độ
b: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên BD/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4=(BD+CD)/(3+4)=10/7

=>BD=30/7cm; CD=40/7cm

c: Xét tứ giác AEDF có

góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ

AD là phân giác của góc FAE

=>AEDF là hình vuông

1: góc OBA+góc OCA=180 độ

=>ABOC nội tiếp

2: AB=căn 5^2-3^2=4cm

Gọi H là giao của BC và OA

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>H là trung điểm của bC và OA vuông góc BC tại H

BH=3*4/5=2,4cm

=>BC=4,8cm

8

a

\(\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}\\ =\left|5-\sqrt{3}\right|\)

\(=5-\sqrt{3}\) (\(5>\sqrt{3}\))

b

\(\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}\\ =\left|1-\sqrt{2}\right|\)

\(=-\left(1-\sqrt{2}\right)\) (\(1< \sqrt{2}\))

\(=\sqrt{2}-1\)

ĐK: \(x\ge0\)

\(5\sqrt{x}< 15\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}< \dfrac{15}{5}\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}< 3\\ \Leftrightarrow x< 3^2\\ \Leftrightarrow x< 9\)

Mà \(x\in Z;x\ge0\) nên \(x\in\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(S=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)

Khi \(m=1\) thì phương trình trở thành:

\(x^2-2\cdot\left(1-1\right)x-2\cdot1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=2\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\)

Vậy khi \(m=1\) thì x thỏa mãn là \(\pm\sqrt{2}\)