Đặt \(BC=x\left(x>5\right)\)

 Trong đường tròn (O) có đường kính CD và \(N\in\left(O\right)\) nên \(\widehat{DNC}=90^o\) hay \(\widehat{BND}=90^o\)

 Vì BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{ABD}=\widehat{NBD}\)

 Xét 2 tam giác ABD và NBD vuông tại A và N, có \(\widehat{ABD}=\widehat{NBD}\) và cạnh BD chung nên \(\Delta ABD=\Delta NBD\left(ch-gn\right)\)

 \(\Rightarrow BA=BN=5\) \(\Rightarrow NC=BC-BN=5-x\) 

 Lại có \(\widehat{OMD}=\widehat{ODM}=\widehat{BDA}=\widehat{BDN}\) nên OM//ND (2 góc đồng vị bằng nhau)

 Tam giác CND có O là trung điểm DC, OH//DN và \(H\in NC\) nên H là trung điểm NC \(\Rightarrow HC=\dfrac{NC}{2}=\dfrac{x-5}{2}\)

 Theo định lý Pythagoras, có \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{x^2-25}\)

 Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

 \(\dfrac{DA}{AB}=\dfrac{DC}{CB}=\dfrac{AC}{AB+CB}\) \(\Rightarrow\dfrac{DA}{5}=\dfrac{DC}{x}=\dfrac{\sqrt{x^2-25}}{x+5}\)

 \(\Rightarrow DA=\dfrac{5\sqrt{x^2-5}}{x+5}\) và \(DC=\dfrac{x\sqrt{x^2-5}}{x+5}\)

 \(\Rightarrow R_{\left(O\right)}=\dfrac{DC}{2}=\dfrac{x\sqrt{x^2-5}}{2x+10}\)

 Lại có \(DN=AD=\dfrac{5\sqrt{x^2-5}}{x+5}\) 

 \(OH=\dfrac{DN}{2}=\dfrac{5\sqrt{x^2-25}}{2x+10}\) (OH là đường trung bình của tam giác CND)

 \(\Rightarrow MH=MO+OH=\dfrac{x\sqrt{x^2-25}}{2x+10}+\dfrac{5\sqrt{x^2-25}}{2x+10}\)  \(=\dfrac{\sqrt{x^2-25}}{2}\)

 Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác DMC vuông tại M, ta có:

 \(MH^2+HC^2=MC^2\)

 \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{\sqrt{x^2-25}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{x-5}{2}\right)^2=18\)

 \(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-25}{4}+\dfrac{x^2-10x+25}{4}=18\)

 \(\Leftrightarrow2x^2-10x=72\)

 \(\Leftrightarrow x^2-5x-36=0\)

 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9\left(nhận\right)\\x=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

 Vậy \(BC=9\)

Gọi số xe lúc đầu là x (xe) (ĐK: \(x\in N,0< x< 20\))

\(\rightarrow\) Số tấn hàng mỗi xe cần chở theo KH là \(\dfrac{120}{x}\) (tấn)

Số xe sau khi thêm 2 xe là x + 2 (xe)

Tổng số tấn hàng cần chờ là 120 + 36 = 156 (tấn)

\(\rightarrow\) Số tấn hàng mỗi xe cần chở sau đó là \(\dfrac{156}{x+2}\) (tấn)

Vì mỗi xe phải chở thêm 1 tấn hàng thi mới chở hết số hàng nên ta có PT

\(\dfrac{156}{x+2}-\dfrac{120}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{156x-120x-240}{x\left(x+2\right)}=1\)

\(\Rightarrow x^2+2x=36x-240\)

\(\Leftrightarrow x^2-34x+240=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=24\left(L\right)\\x=10\end{matrix}\right.\)

Vậy lúc đầu đội có 10 xe

\(\text{Gọi số xe ban đầu là x(xe)}\)

    \(\text{Điều kiện:xϵN*,x< 20}\)

         \(\text{số xe lúc sau là:x+2(xe)}\)

         \(\text{số tấn hàng mỗi xe phải chở lúc đầu là:}\dfrac{120}{x}\left(\text{tấn}\right)\)

         \(\text{số tấn hàng mỗi xe phải chở lúc sau là:}\dfrac{156}{x+2}\left(\text{tấn}\right)\)

\(\text{Vì mỗi xe phải chở thêm 1 tấn hàng nên ta có phương trình:}\)

\(\dfrac{156}{x+2}-1=\dfrac{120}{x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{156x}{x\left(x+2\right)}-\dfrac{x\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}=\dfrac{120\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}\)

\(\Rightarrow156x-x^2-2x=120x+240\)

\(\Leftrightarrow-x^2+154x-120x-240=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2+34x-240\)

\(\Delta=b^2-4ac=34^2-4.\left(-1\right).\left(-240\right)=196>0\)

\(\Rightarrow x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=24\left(\text{loại}\right)\)

     \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=10\left(\text{nhận}\right)\)

\(\text{Vậy số xe ban đầu là 10(xe)}\)

Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y 

Vì tổng của chúng là 18 nên ta có PT(1): 

x + y = 18

Tích của chúng là xy

Khi tăng mỗi số thêm 2 đơn vị thì tích của chúng tăng thêm 40 nên ta có PT(2)

\(\left(x+2\right)\left(y+2\right)=xy+40\Leftrightarrow xy+2x+2y+4=xy+40\)\(\Leftrightarrow x+y=18\)

Từ (1)(2) ta có HPT: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=18\\x+y=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0x=0\\x+y=18\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=18-x\end{matrix}\right.\) (0x=0 luôn đúng )

Vậy có vô số cặp số cần tìm có dạng (x;18-x)

Gọi x là số thứ nhất

Số thứ hai là 18 - x

Số thứ nhất sau khi tăng 2 đơn vị: x + 2

Số thứ hai sau khi tăng 2 đơn vị: 18 - x + 2 = 16 - x

Tích ban đầu là: x(18 - x) = 18x - x²

Tích mới là: (x + 2)(16 - x) = 16x - x² + 32 - 2x = -x² + 14x + 32

Theo đề bài, ta có phương trình:

-x² + 14x + 32 - 18x + x² = 40

-4x = 40 - 32

-4x = 8

x = -2

Vậy số thứ nhất là -2; số thứ hai là 18 - (-2) = 20

Câu hỏi của em là gì thế?

Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{ab}\)

Tổng của chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 14 nên a+b=14

Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì số mới tạo thành lớn hơn số cũ 18 đơn vị nên \(\overline{ba}-\overline{ab}=18\)

=>\(10b+a-10a-b=18\)

=>-9a+9b=18

=>a-b=-2

mà a+b=14

nên \(a=\dfrac{-2+14}{2}=\dfrac{12}{2}=6;b=14-6=8\)

vậy: Số cần tìm là 68

Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (đv) (ĐK: \(x\in N,0< x< 10\))

      chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (đv) (\(ĐK:y\in N,0\le y< 10\))

Vì tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 14 nên ta có PT(1)

x + y = 14

Số cần tìm có dạng 10x+y

Số mới có dạng 10y+x

Vì số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên ta có PT(2)

\(\left(10y+x\right)-\left(10x+y\right)=18\Leftrightarrow10y+x-10x-y=18\)

\(\Leftrightarrow9y-9x=18\Leftrightarrow y-x=2\)

Từ (1)(2) ta có HPT: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=14\\y-x=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=14\\x-y=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=12\\x-y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\6-y=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=8\end{matrix}\right.\)(T/m)

Vậy số cần tìm là 68

b: Thay x=-2 vào (1), ta được:

\(\left(-2\right)^2-2\left(m-1\right)\cdot\left(-2\right)+m-3=0\)

=>\(4+4\left(m-1\right)+m-3=0\)

=>4m-4+m+1=0

=>5m-3=0

=>m=3/5

c: \(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m+12\)

\(=4m^2-12m+16=\left(2m-3\right)^2+7>=7>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-3\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(2m-2\right)^2-2\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-2m+6\)

\(=4m^2-10m+10\)

\(=\left(2m\right)^2-2\cdot2m\cdot2,5+6,25+3,75\)

\(=\left(2m-2,5\right)^2+3,75>=3,75\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi 2m-2,5=0

=>m=1,25

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2-9\)

\(=3\left(m+2\right)^2-3\left(m-1\right)-9\)

\(=3\left(m^2+4m+4\right)-3m+3-9\)

\(=3m^2+12m+12-3m-6\)

\(=3m^2+9m+6\)

\(=3\left(m^2+3m+2\right)\)

\(=3\left(m^2+3m+\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\right)\)

\(=3\left(m+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}>=-\dfrac{3}{4}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi \(m+\dfrac{3}{2}=0\)

=>\(m=-\dfrac{3}{2}\)

Ta có: 

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2-9\)

\(A=\left(m+2\right)^2-3\left(m-1\right)-9\)

\(A=m^2+4m+4-3m+3-9\)

\(A=m^2+m-2\)

\(A=m^2+2\cdot\dfrac{1}{2}m\cdot1+\dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}\)

\(A=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\)

Vì \(\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\ge-\dfrac{9}{4}\)

Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy min A= \(-\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

a: Xét tứ giác MDBO có \(\widehat{DMO}+\widehat{DBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MDBO là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(OM^2=MC\cdot MD\)

=>\(OM^2=AC\cdot BD\)

c: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

Xét ΔMAB vuông tại M có \(sinBAM=\dfrac{BM}{BA}\)

=>\(\dfrac{BM}{2R}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(BM=R\sqrt{3}\)

=>\(AM=\sqrt{\left(2R\right)^2-\left(R\sqrt{3}\right)^2}=R\)

ΔMAB vuông tại M

=>\(S_{MAB}=\dfrac{1}{2}\cdot MA\cdot MB=\dfrac{1}{2}\cdot R\cdot R\sqrt{3}=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}\)

a: \(\text{Δ}=\left[2\left(k+3\right)\right]^2-4\left(-k-1\right)\)

\(=\left(2k+6\right)^2+4\left(k+1\right)\)

\(=4k^2+24k+36+4k+4\)

\(=4k^2+28k+40\)

\(=\left(2k\right)^2+2\cdot2k\cdot7+49-9\)

\(=\left(2k+7\right)^2-9+=\left(2k+4\right)\left(2k+10\right)\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2\left(k+3\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-k-1\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có hai nghiệm dương thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2k+4\right)\left(2k+10\right)>0\\-2\left(k+3\right)>0\\-k-1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(k+2\right)\left(k+5\right)>0\\k+3< 0\\k+1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}k>-2\\k< -5\end{matrix}\right.\\k< -3\end{matrix}\right.\)

=>k<-5

b: \(x_1+x_2-2x_1x_2=-2\left(k+3\right)-2\cdot\left(-k-1\right)\)

\(=-2k-6+2k+2=-4\)

=>Đây là hệ thức không phụ thuộc vào tham số k