Để nhân hai phân số, ta nhân tử với tử và nhân các mẫu với nhau.

Để nhân, chia được các phân thức đại số ta thực hiện như nhân chia các phân số.

Con lợn thứ nhất ăn 3 ngày ăn hết 1 bao thức ăn

Suy ra một ngày con lợn thứ nhất ăn hết \(\dfrac{1}{3}\) bao thức ăn

Con lợn thứ hai ăn 6 ngày ăn hết 1 bao thức ăn

Suy ra một ngày con lợn thứ hai ăn hết \(\dfrac{1}{6}\) bao thức ăn

Con lợn thứ ba ăn 4 ngày ăn hết 1 bao thức ăn

Suy ra một ngày con lợn thứ ba ăn hết \(\dfrac{1}{4}\) bao thức ăn

Một ngày ba con lợn ăn hết: \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\) (bao thức ăn)

Cả ba con lợn trong x (ngày) cần số bao thức ăn là: \(\dfrac{3}{4}x\) (bao thức ăn)

Số cây chi đoàn dự định trồng là: 120 cây

Số đoàn viên ban đầu là: x (người)

Số đoàn viên thực tế là: x + 3 (người)

a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định là: \(\dfrac{{120}}{x}\) (cây)

b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là: \(\dfrac{{120}}{{x + 3}}\) (cây)

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là;

\(\dfrac{{120}}{x} - \dfrac{{120}}{{x + 3}} = \dfrac{{360}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\) (cây)

a) Phần bể vòi 1 chảy một mình trong 1 giờ là: \(\dfrac{1}{x}\)

Phần bể vòi 2 chảy một mình trong 1 giờ là: \(\dfrac{1}{{x + 2}}\)

b) Phần bể mà cả hai vòi chảy trong 1 giờ là: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 2}}\)

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong một ngày theo dự định là: \(\dfrac{{10000}}{x}\) (sản phẩm)

b) Tổng số sản phẩm xí nghiệp làm trong thực tế là: 10000 + 80 = 10080 (sản phẩm)

Tổng số ngày xí nghiệp làm trong thực tế là: x – 1 (ngày)

Số sản phẩm xí nghiệp làm trong một ngày theo thực tế là: \(\dfrac{{10080}}{{x - 1}}\) (sản phẩm)

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong một ngày theo dự định là: \(\dfrac{{10080}}{{x - 1}} - \dfrac{{10000}}{x} = \dfrac{{80{\rm{x}} + 10000}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\) (sản phẩm)

a) \(\begin{array}{l}A = \dfrac{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^3} + 1}} + \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\\A = \dfrac{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2{{\rm{x}}^2} + 1 + 1 - {x^2} - {x^2} + x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{1 + x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{{x^2} - x + 1}}\end{array}\)

b) Với x = -3 ta thay vào biểu thức A đã rút gọn ta được:

\(A = \dfrac{1}{{{{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 3} \right) + 1}} = \dfrac{1}{{9 + 3 + 1}} = \dfrac{1}{{13}}\)

a)

\(\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(= \frac{{x + 1 - x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

b)

\(\begin{array}{l}\frac{{12}}{{{x^2} - 9}} - \frac{2}{{x - 3}} = \frac{{12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{2}{{x - 3}}\\ = \frac{{12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{12 - 2{\rm{x}} - 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{6 - 2{\rm{x}}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{x + 3}}\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{xy - {x^2}}} - \frac{1}{{{y^2} - xy}} = \frac{1}{{x\left( {y - x} \right)}} - \frac{1}{{y\left( {y - x} \right)}}\\ = \frac{y}{{xy\left( {y - x} \right)}} - \frac{x}{{xy\left( {y - x} \right)}} = \frac{{y - x}}{{xy\left( {y - x} \right)}} = \frac{1}{{xy}}\end{array}\)

d)

 \(\begin{array}{l}\frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} - 1}} - \frac{3}{{2 + 2{\rm{x}}}} + \frac{1}{{2 - 2{\rm{x}}}}\\ = \frac{{2{\rm{x}}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{3}{{2\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{2{\rm{x}} - 2}}\\ = \frac{{2{\rm{x}}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{{\rm{4x}}}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{1\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{\rm{4x}} - 3{\rm{x}} + 3 - x - 1}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}a)\dfrac{{4{\rm{x}} + 2}}{{4{\rm{x  -  4}}}} + \dfrac{{3 - 6{\rm{x}}}}{{6{\rm{x}} - 6}} = \dfrac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{4\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{3\left( {1 - 2x} \right)}}{{6\left( {x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{1 - 2x}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 1 + 1 - 2x}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 1}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\dfrac{y}{{2{{\rm{x}}^2} - xy}} + \dfrac{{4{\rm{x}}}}{{{y^2} - 2{\rm{x}}y}} = \dfrac{y}{{x\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}} + \dfrac{{4{\rm{x}}}}{{y\left( {y - 2{\rm{x}}} \right)}}\\ = \dfrac{y}{{x\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}} - \dfrac{{4{\rm{x}}}}{{y\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}} = \dfrac{{{y^2}}}{{xy\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}} - \dfrac{{4{{\rm{x}}^2}}}{{xy\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}}\\ = \dfrac{{{y^2} - 4{{\rm{x}}^2}}}{{xy\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}} = \dfrac{{\left( {y - 2{\rm{x}}} \right)\left( {y + 2{\rm{x}}} \right)}}{{ - xy\left( {y - 2{\rm{x}}} \right)}} = \dfrac{{ - \left( {y + 2{\rm{x}}} \right)}}{{xy}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\\ = \dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{{{x^2} + xy + {\rm{yx}} - {y^2} + 2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x + y}}{{x - y}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d)\dfrac{{x{}^2 + 2}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{1}{{1 - x}}\\ = \dfrac{{x{}^2 + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{1}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{x{}^2 + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 2 + {x^2} - x - {x^2} - x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\end{array}\)

a)

\(\dfrac{{5{\rm{x}} - 4}}{9} + \dfrac{{4{\rm{x}} + 4}}{9} \\= \dfrac{{5{\rm{x}} - 4 + 4{\rm{x}} + 4}}{9} \\= \dfrac{{9{\rm{x}}}}{9} \\= x\)

b)

\(\dfrac{{{x^2}y - 6}}{{2{{\rm{x}}^2}y}} + \dfrac{{6 - x{y^2}}}{{2{{\rm{x}}^2}y}} \\= \dfrac{{{x^2}y - 6 + 6 - x{y^2}}}{{2{{\rm{x}}^2}y}} \\= \dfrac{{{x^2}y - x{y^2}}}{{2{{\rm{x}}^2}y}} \\= \dfrac{{xy\left( {x - y} \right)}}{{2{{\rm{x}}^2}y}} \\= \dfrac{{x - y}}{{2{\rm{x}}}}\)

c)

\(\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 5{\rm{x}}}} + \dfrac{{x - 18}}{{{x^2} - 5{\rm{x}}}} + \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 5{\rm{x}}}} \\= \dfrac{{x + 1 + x - 18 + x + 2}}{{{x^2} - 5{\rm{x}}}} \\= \dfrac{{3{\rm{x}} - 15}}{{x\left( {x - 5} \right)}} \\= \dfrac{{3\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {x - 5} \right)}} \\= \dfrac{3}{x}\)

d)

\(\dfrac{{7y}}{3} - \dfrac{{7y - 5}}{3} \\= \dfrac{{7y - 7y + 5}}{3} \\= \dfrac{5}{3}\)

e)

\(\dfrac{{4{\rm{x}} - 1}}{{3{\rm{x}}{y^2}}} - \dfrac{{7{\rm{x}} - 1}}{{3{\rm{x}}{y^2}}} \\= \dfrac{{4{\rm{x}} - 1 - 7{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}}{y^2}}} \\= \dfrac{{-3{\rm{x}}}}{{3{\rm{x}}{y^2}}} \\= \dfrac{-1}{{{y^2}}}\)

g)

\(\dfrac{{3y - 2{\rm{x}}}}{{x - 2y}} - \dfrac{{x - y}}{{2y - x}} \\= \dfrac{{3y - 2{\rm{x}}}}{{x - 2y}} + \left( { - \dfrac{{x - y}}{{2y - x}}} \right) \\= \dfrac{{3y - 2{\rm{x}}}}{{x - 2y}} + \dfrac{{x - y}}{{x - 2y}} \\= \dfrac{{3y - 2{\rm{x}} + x - y}}{{x - 2y}} \\= \dfrac{{2y - x}}{{ - \left( {2y - x} \right)}} \\=  - 1\)