Lời giải:

PT hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$:

$x^2-(m+1)x+m-1=0(*)$

Ta thấy: $\Delta (*) = (m+1)^2-4(m-1)=m^2+2m+1-4m+4=m^2-2m+5=(m-1)^2+4>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow (*)$ luôn có 2 nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt với mọi $m$

$\Rightarrow (P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ với mọi $m$

b.

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=m+1$

$x_1x_2=m-1$

Khi đó:
$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=1$

$\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=1$

$\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=x_1^2x_2^2$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1^2x_2^2$

$\Leftrightarrow (m+1)^2-2(m-1)=(m-1)^2$

$\Leftrightarrow m^2+2m+1-2m+2=m^2-2m+1$

$\Leftrightarrow 3=-2m+1$

$\Leftrightarrow m=-1$

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left|x-1\right|-5y=3\\2\left|x-1\right|+4y=-12\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-9y=15\\\left|x-1\right|+2y=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{15}{9}\\\left|x-1\right|+2\cdot\left(-\dfrac{15}{9}\right)=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{15}{9}\\\left|x-1\right|=-\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)(vô lí)

Vậy HPT vô nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left|x-1\right|-5y=3\\\left|x-1\right|+2y=-6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left|x-1\right|-5y=3\\2\left|x-1\right|+4y=-12\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-9y=3-\left(-12\right)=15\\2\left|x-1\right|-5y=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{5}{3}\\2\left|x-1\right|=5y+3=-\dfrac{25}{3}+3=-\dfrac{16}{3}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{5}{3}\\\left|x-1\right|=-\dfrac{8}{3}\left(vôlý\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left(x;y\right)\in\varnothing\)

Bài 2:

a: Xét tứ giác CDHE có \(\widehat{CDH}+\widehat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CDHE là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BCE}=180^0\)

mà \(\widehat{BCE}+\widehat{DHE}=180^0\)

nên \(\widehat{BFE}=\widehat{DHE}\)

Ta có: \(\widehat{BEF}=\widehat{BCF}\)(BFEC nội tiếp)

\(\widehat{BCF}=\widehat{DEH}\)(CDHE nội tiếp)

Do đó: \(\widehat{BEF}=\widehat{DEH}\)

Xét ΔBEF và ΔDEH có

\(\widehat{BEF}=\widehat{DEH}\)

\(\widehat{BFE}=\widehat{DHE}\)

Do đó: ΔBEF~ΔDEH

Bài 2:

a: \(\Delta=\left(-7\right)^2-4\cdot\left(m-1\right)=49-4m+4=-4m+53\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -4m+53>=0

=>-4m>=-53

=>\(m< =\dfrac{53}{4}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=7\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

b: x1 là nghiệm của phương trình

=>\(x_1^2-7x_1+m-1=0\)

=>\(x_1^2-6x_1+m-2=x_1-1\)

\(\left(x_1^2-6x_1+m-2\right)\left(x_2-1\right)=4\)

=>\(\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=4\)

=>\(x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1=4\)

=>m-1-7+1=4

=>m-7=4

=>m=11(nhận)

Bài 1:

Gọi vận tốc của ô tô thứ hai là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Vận tốc của ô tô thứ nhất là x+10(km/h)

Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường là \(\dfrac{120}{x+10}\left(giờ\right)\)

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường là \(\dfrac{120}{x}\left(giờ\right)\)

Ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 0,4 giờ nên ta có:

\(\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+10}=0,4\)

=>\(\dfrac{120\left(x+10\right)-120x}{x\left(x+10\right)}=0,4\)

=>\(\dfrac{1200}{x\left(x+10\right)}=0,4\)

=>x(x+10)=3000

=>\(x^2+10x-3000=0\)

=>(x+60)(x-50)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-60\left(loại\right)\\x=50\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: vận tốc của ô tô thứ hai là 50km/h

Vận tốc của ô tô thứ nhất là 50+10=60km/h

Đường thẳng (d) là đường thẳng như thế nào hả bạn? Đề thiếu bạn xem lại nhé. 

hình lỗi rồi

Hình đâu ạ?

Gọi thời gian chảy riêng của vòi thứ 2 là x(giờ)

(Điều kiện: x>0)

Thời gian chảy riêng của vòi thứ 1 là x+2(giờ)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được: \(\dfrac{1}{x+2}\left(bể\right)\)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được: \(\dfrac{1}{x}\left(bể\right)\)

1h30p=1,5(giờ)

Trong 1 giờ, hai vòi chảy được: \(\dfrac{1}{1,5}=\dfrac{2}{3}\left(bể\right)\)

Do đó, ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{2x+2}{x\left(x+2\right)}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{x+1}{x\left(x+2\right)}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(x\left(x+2\right)=3\left(x+1\right)\)

=>\(x^2+2x=3x+3\)

=>\(x^2-x-3=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\left(nhận\right)\\x=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

vậy: Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là \(\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\left(giờ\right)\)

Thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là \(\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}+2=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\left(giờ\right)\)

\(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+2+\sqrt{6}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}=1+\sqrt{2}\)

\(\Delta=\left[-2\left(m+2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m^2+7\right)\)

\(=\left(2m+4\right)^2-4\left(m^2+7\right)\)

\(=4m^2+16m+16-4m^2-28=16m-12\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

=>16m-12>0

=>16m>12

=>\(m>\dfrac{3}{4}\)