\(\frac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{5}\)

\(=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}-3+2\sqrt{6}}{5}\)

mình làm thử vì mình chỉ quen trục căn thức ở tử thôi

\(\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2+2\sqrt{2}-3}\)

\(=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{ab+ac}=\frac{4}{a\left(b+c\right)}\)(1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(a\left(b+c\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}=4\Rightarrow\frac{4}{a\left(b+c\right)}\ge1\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge\frac{4}{a\left(b+c\right)}\ge1\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge1\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = 2 ; b = c = 1 

+ (O;R) đựng (O';r)(O′;r) có số điểm chung là 0; hệ thức giữa d,R,rd,R,r là d = R - r

+ (O;R) và (O';r)(O′;r) ở ngoài nhau có 0 điểm chung, hệ thức giữa d,R,rd,R,r là d > R + r

+ (O;R) và (O';r)(O′;r) Tiếp xúc ngoài có 1 điểm chung, hệ thức giữa d,R,rd,R,r là d = R + r

+ (O;R) và (O';r)(O′;r) Tiếp xúc trong có 1 điểm chung, hệ thức giữa d,R,rd,R,r là d = R - r

+ (O;R) và (O';r)(O′;r) cắt nhau có 2 điểm chung, hệ thức giữa d,R,rd,R,r là d < R + r

0; d<R-r

Ở ngoài nhau;0

1;d=R+r

Tiếp xúc trong;1

Cắt nhau;R-r<d<R+r

câu nào ?

- Trường hợp 1: O và O' nằm khác phía đối với AB

Gọi I là giao điểm của OO' và AB. Theo tính chất đường nối tâm ta có:

    AB ⊥ OO' và AI = IB = 12

Áp dụng định lí Pitago, ta được:

Vậy OO' = OI + IO' = 16 + 9 = 25 (cm)

- Trường hợp 2: O và O' nằm cùng phía đối với AB

Tương tự như trường hợp 1, ta có:

Vậy OO' = OI – O'I = 16 – 9 = 7 (cm).

Ta có: OA = OC (bán kính) nên ΔOAC cân tại O.

Lại có O'A = O'D (bán kính) nên ΔO'AD cân tại O'

Vậy OC // O'D (có hai góc so le trong bằng nhau).

Ta có: OA = OC (bán kính) nên ΔOAC cân tại O.

Lại có O'A = O'D (bán kính) nên ΔO'AD cân tại O'

Vậy OC // O'D (có hai góc so le trong bằng nhau).