đk: \(x\ge-2\)

Ta có: \(x^2+x-4+\left(x+6\right)\sqrt{x+2}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-4=-\left(x+6\right)\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-4\right)^2=\left(x+6\right)^2\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-7x^2-8x+16=x^3+14x^2+60x+72\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3-21x^2-68x-56=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-4x^3-8x^2\right)+\left(5x^3-20x^2-40x\right)+\left(7x^2-28x-56\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x-8\right)\left(x^2+5x+7\right)=0\)

PT \(x^2+5x+7=0\) vô nghiệm (tự chỉ ra)

\(\Rightarrow x^2-4x-8=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=\left(2\sqrt{3}\right)^2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2+2\sqrt{3}\\x=2-2\sqrt{3}\end{cases}}\)

Thử lại ta thấy \(x=2-2\sqrt{3}\) thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của PT \(S=\left\{2-2\sqrt{3}\right\}\)

\(Q=\frac{1}{x-1\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2+2}\le\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\)

Vậy Max Q= 1/2 <=> x=1

sai số kìa ;))

Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{\left(a^3+ab^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)

Tương tự CM được:

\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\) và \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được: 

\(\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a+b+c}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 2

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm chung của (d) và (P) :

\(x^2=\left(2m-1\right)x-m^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-2=0\left(1\right)\)

Thay m=2 vào pt (1) ta được:

\(x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\Rightarrow y=1\\x=2\Rightarrow y=4\end{cases}}\)

Tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m=2 là \(A\left(1;1\right);B\left(2;4\right)\)

b) \(\Delta_{\left(1\right)}=\left(2m-1\right)^2-4m^2+8\)

\(=4m^2-4m+1-4m^2+8\)

\(=9-4m\)

Để pt (1) có 2 n ghiệm pb \(\Leftrightarrow9-4m>0\Leftrightarrow m< \frac{9}{4}\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-1\\x_1.x_2=m^2-2\left(1\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-1\\x_1-3x_2=7\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x_1+3x_2=6m-3\\x_1-3x_2=7\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{3m+2}{2}\\x_2=\frac{m-4}{2}\end{cases}\left(3\right)}\)

Thay (3) vào (2) ta được:

\(\frac{3m+2}{2}.\frac{m-4}{2}=m^2-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{3m^2-10m-8}{4}=m^2-2\)

\(\Rightarrow3m^2-10m-8=4m^2-8\)

\(\Leftrightarrow m^2+10m=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m=-10\end{cases}\left(tm\right)}\)

Vậy ...

Câu a: 

  gọi chiều dài mảnh vườn là x (m;0<x<17)

        chiều rộng mảnh vườn là y(m;0<y<17) 

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=17\\\left(x+2\right)\left(y+3\right)-xy=50\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=7\end{matrix}\right.\) ( thỏa mãn)

Vậy chiều dài mảnh vườn là 10m

       chiều rộng mảnh vườn là 7m

Câu b:

   Bán kính đáy của thùng là 0,6/2=0,3(m)

  Thể tích của 10 thùng đó là V=3,14.0,3².1,5.10\(\approx\) 4,24 (m³)

   Đổi 4,24m³=4240l

  Vậy thuyền đã chuẩn bị 4240l dầu

Áp dụng BĐT cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có: 

\(A=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=\frac{9}{1}=9\) 

Dấu"=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\\frac{1}{x}=\frac{2}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{cases}}\)

Vậy Min A=9 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{cases}}\)

A = \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{4}{y}\)

tự làm đi

a) Vì \(A,M,B\in\left(O\right)\); AB là đường kính

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\)

\(\Rightarrow AM\perp MB\)

Xét tam giác ANB có: BM vừa là đường cao vừa là đường trung bình 

\(\Rightarrow\Delta ANB\)cân tại B

\(\Rightarrow NB=BA\)

\(\Rightarrow N\in\left(C;\frac{BA}{2}\right)\)cố định

b) Vì BM là đường cao của tam giác ABN cân tại B

=> BM là phân giác góc ABN

=> góc ABM= góc NBM

Xét tam giác ARB và tam giác NRB có:

\(\hept{\begin{cases}BRchung\\\widehat{ABM}=\widehat{NBM}\left(cmt\right)\\AB=NB\end{cases}\Rightarrow\Delta ARB=\Delta NRB\left(c-g-c\right)}\)

\(\Rightarrow\widehat{RAB}=\widehat{RNB}=90^0\)

\(\Rightarrow RN\perp BN\)

\(\Rightarrow RN\)là tiếp tuyến của (C)

c) Ta có: A,P,B thuộc (O); AB là đường kính

\(\Rightarrow\widehat{APB}=90^0\)

\(\Rightarrow AP\perp BP\)

\(\Rightarrow RN//AP\)( cùng vuông góc với NB )

Xét tam giác NAB có: \(\hept{\begin{cases}MB\perp AN\\AP\perp BN\end{cases}}\); AP cắt BM tại Q

\(\Rightarrow Q\)là trực tâm tam giác NAB

\(\Rightarrow NQ\perp AB\)

=> NQ // AR(  cùng vuông góc với  AB)

Xét tứ giác ARNQ có:

\(\hept{\begin{cases}AR//NQ\left(cmt\right)\\RN//AP\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow ARNQ}\)là hình bình hành

Mà 2 đường chéo RQ và AN vuông góc với nhau

=> ARNQ là hình thoi 

Ta có ngay\(\frac{S_{HBA}}{S_{HAC}}=\frac{\frac{1}{2}AH\cdot HB}{\frac{1}{2}AH\cdot HC}=\frac{HB}{HC}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}\)

Vậy ...

Bài làm

Xét tam giác HBA và tam giác HAC có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\)

\(\widehat{B}=\widehat{HAC}\)(cùng phụ với góc C)

=> Tam giác HBA ~ tam giác HAC ( g-g)

=> \(\frac{BH}{AH}=\frac{AH}{HC}\Rightarrow AH^2=BH.HC=AH^2=36.64=AH^2=100\left(cm\right)\)

=> AH = 10 cm

Theo tính chất tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng có:

\(\frac{S_{\Delta HBA}}{S_{\Delta HAC}}=\left(\frac{BH}{AH}\right)^2=\frac{BH^2}{AH^2}=\frac{36^2}{10^2}=\frac{324}{25}\)

Vậy tỉ số diện tích tam giác HBA và tam giác HAC là 324/25

~ Tính không biết đúng không nữa, hahah~