ta có:1/[n*(n+1)] = 1/n -1/(n+1) 
1/2² + 1/3² + 1/4² +...+1/100² 
< 1/(2*3) +1/(3*4) +1/(4*5) + ... +1/(100*101) 
mà 1/(2*3) +1/(3*4) +1/(4*5) + ... +1/(100*101) 
=1/2 - 1/3 +1/3 -1/4 +....+1/100 - 1/101 
=1/2 - 1/101 = 99/202<3/4 
=>1/2² + 1/3² + 1/4² +...+1/100² < 3/4

   Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề vòi nước. Cấu trúc thi chuyên thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

                                Giải:

 Gấp rưỡi là gấp \(\dfrac{3}{2}\), vậy lượng nước nóng bằng \(\dfrac{3}{2}\) lượng nước lạnh khi bể đầy.

    Khi bể đầy lượng nước nóng bằng: 3 : (3 + 2) = \(\dfrac{3}{5}\) (bể)

   Khi bể đầy lượng nước lạnh bằng: 1 - \(\dfrac{3}{5}\) = \(\dfrac{2}{5}\) (bể)

   Cứ một phút vòi lạnh chảy được: 1 : 17 = \(\dfrac{1}{17}\) (bể)

   Thời gian vòi nước lạnh chảy được \(\dfrac{2}{5}\) bể là: \(\dfrac{2}{5}\) : \(\dfrac{1}{17}\) = 6,8 (phút)

Cứ một phút vòi nóng chảy được: 1 : \(23\) = \(\dfrac{1}{23}\) (bể)

Thời gian vòi nước nóng chảy được \(\dfrac{3}{5}\) bể là: \(\dfrac{3}{5}\) : \(\dfrac{1}{23}\) = 13,8 (phút)

Để khi bể đầy, lượng nước nóng gấp rưỡi lượng nước lạnh. Nếu mở vòi nước nóng trước thì cần mở vòi lạnh sau:

                        13,8 phút - 6,8 phút  = 7 phút

Kết luận. Nếu mở vòi nước nóng trước thì cần mở vòi lạnh sau 7 phút, để khi bể đầy lượng nước nóng gấp rưỡi lượng nước lạnh. 

Đặt A = 1.2+2.3 +.......+99.100

Ta có:

3A= 1.2.3+2.3.4+3.4.3 +......+ 99.100.3

3A= 1.2. (3 - 0) + 2.3.(4 - 1) +3.4. (5 - 2)....... . 99.100. (101 - 98)

3A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +...... + 99.100.101) - (0.1.2 + 1.2.3 + 2.3.4 +...+ 98.99.100)

3A = 99.100.101 - 0.1.2

3A = 999900 - 0

3A= 999900

A= 999900 : 3

A = 333300

Vậy A = 333300

Đặt \(A=1.2+2.3+3.4+...+99.100\)

\(\Rightarrow3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+99.100.3\)

\(=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+99.100.\left(101-98\right)\)\(=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5+...-98.99.100+99.100.101\)

\(=99.100.101\)

\(=999900\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{999900}{3}=333300\)

A = \(\dfrac{n+10}{2n-8}\) 

a; A là phân thức đại số khi và chi khi 2n - 8 ≠ 0

    2n - 8 ≠ 0

   2n ≠ 8

    n ≠ 8 : 2

   n ≠ 4 

Vậy A là phân số khi và chỉ khi 4 ≠ n \(\in\) Z

b; A = \(\dfrac{n+10}{2n-8}\) (4 ≠ n \(\in\) Z)

   A \(\in\) Z ⇔ n + 10 ⋮ 2n - 8

           2.(n + 10) ⋮ 2n  - 8

          2n + 20     ⋮ 2n - 8

        2n - 8 + 28 ⋮ 2n - 8

                     28 ⋮ 2n - 8

                       14 ⋮ n - 4

                   n - 4 \(\in\) Ư(14) = {-14; -7; -2; -1; 1; 2; 7; 14}

Lập bảng ta có:

  Theo bảng trên ta có n \(\in\) {-10; 2; 6; 18}

Kết luận vậy để A = \(\dfrac{n+10}{2n-8}\) là một số nguyên thì n \(\in\) {-10; 2; 6; 18}

\(\dfrac{x-3}{x^2-x+1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4x+4}{x^3-1}\)

\(=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{x^2-x+1}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{4x+4}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x-3x-3-x^2+x-1+4x+4}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x}{x^3+1}\)

Cho số 180281125

Chữ số 8 trong số trên có giá trị là 8 000 000

Chữ số 2 trong số trên có giá trị là 20

Chữ số 8 trong lớp triệu của số trên có giá trị gấp giá trị chữ số 2 trong lớp đơn vị số lần là:

               8 000 000 : 20 = 400 000 (lần)

Đáp số: 400 000  lần.

a: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\widehat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AB\cdot AE\)

Do BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G (gt)

G là trọng tâm của ABC

AG là đường trung tuyến thứ ba

Mà AG cắt BC tại P

AG = 2/3 . AP = 2/3 . 6 = 4 (cm)

Chọn A

Hãy giúp tôi

a) Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ ∠ABC = ∠ACB = (180⁰ - ∠BAC) : 2

= (180⁰ - 45⁰) : 2

= 67,5⁰

Do ∠ABC = ∠ACB > ∠BAC (67,5⁰ = 67,5⁰ > 45⁰)

⇒ AC = AB > BC

b) Do ∠ABC = ∠ACB (cmt)

⇒ ∠DBC = ∠ECB

Xét ∆BCD và ∆CBE có:

BD = CE (gt)

∠DBC = ∠ECB (cmt)

BC là cạnh chung

⇒ ∆BCD = ∆CBE (c-g-c)

⇒ ∠BDC = ∠CEB (hai góc tương ứng)

a: Xét ΔADH vuông tại H và ΔBDA vuông tại A có

\(\widehat{ADH}\) chung

Do đó: ΔADH~ΔBDA

ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD=\sqrt{4^2+3^2}=5\left(cm\right)\)

ΔADH~ΔBDA

=>\(\dfrac{AH}{BA}=\dfrac{AD}{BD}\)

=>\(AH=\dfrac{AB\cdot AD}{BD}=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔBCD vuông tại C có

\(\widehat{ABH}=\widehat{BDC}\)(AB//CD)

Do đó: ΔAHB~ΔBCD

=>\(\dfrac{BH}{CD}=\dfrac{AB}{BD}\)

=>\(BH\cdot BD=AB\cdot CD=CD^2\)