\(\left(P\right):y=2x^2\)

\(d:y=mx+1\)

Xét phương trình: \(2x^2-mx-1=0\)có \(\Delta=m^2+8>0\forall m\)

Suy ra (P) và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Giả sử \(x_1,x_2\)là hai nghiệm của PT trên, theo hệ thức Viet: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{m}{2}\\x_1x_2=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\frac{m^2+8}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|=\frac{\sqrt{m^2+8}}{2}\)

Xét hệ \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=mx+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\), suy ra d cắt Oy tại M(0;1) \(\Rightarrow OM=1\)

Khi đó: \(S_{OAB}=\frac{1}{2}.1.\frac{\sqrt{m^2+8}}{2}=\frac{\sqrt{m^2+8}}{4}=\frac{3m}{2}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m^2+8=36m^2\end{cases}}\Leftrightarrow m=\frac{2\sqrt{70}}{35}\)

A I B H C D

a) Xét tứ giác BHDI có :

\(\widehat{BID}=90^o\)

\(\widehat{BHD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BID}+\widehat{BHD}=180^o\)

Mà 2 góc \(\widehat{BID}\)và \(\widehat{BHD}\)là 2 góc đối nhau

=> Tứ giác BHDI nội tiếp

b) Ta có \(BD\perp AC\); \(DI\perp AB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác 

\(\Rightarrow BD^2=BI.BA\)

Tương tự cũng có : \(BD^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow BI.BA=BH.BD\)

Ta lại có :

\(\widehat{ABD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}-\widehat{BAD}=90^o-\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{CBO}\)

\(x+\sqrt{x^2+3}=t,t>0\Rightarrow t^2=2x^2+3+2x\sqrt{x^2+3}\)

Phương trình ban đầu tương đương với: 

\(t^2+t-12=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-4\left(l\right)\\t=3\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(t=3\Rightarrow x+\sqrt{x^2+3}=3\Rightarrow x^2+3=9-6x+x^2\Leftrightarrow x=1\).

Thử lại ta thấy thỏa mãn. 

\(\hept{\begin{cases}3x^2-2xy=160\\x^2-3xy-2y^2=8\end{cases}}\Rightarrow20\left(x^2-3xy-2y^2\right)-\left(3x^2-2xy\right)=17x^2-58xy-40y^2=0\)

Với \(y=0\)không thỏa mãn hệ phương trình. 

Với \(y\ne0\): \(17\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{58x}{y}-40=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{x}{y}=4\\\frac{x}{y}=-\frac{10}{17}\end{cases}}\).

Đến đây xét hai trường hợp dễ dàng tìm được nghiệm của hệ. 

Kết quả, thu được các nghiệm là: \(\left(-8,-2\right),\left(-5,\frac{17}{2}\right),\left(5,-\frac{17}{2}\right),\left(8,2\right)\).

Bình phương hai vế ta được: 

\(x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)

\(\Leftrightarrow x-y-z=2\sqrt{yz}-2\sqrt{3}\)

\(VT\)là số hữu tỉ, \(VP\)là số vô tỉ, do đó đẳng thức trên chỉ xảy ra khi 

\(\hept{\begin{cases}x-y-z=0\\yz=3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4,y=1,z=3\\x=4,y=3,z=1\end{cases}}\).

\(x^2+8x=3^{2y}\Leftrightarrow\left(x+4\right)^2-3^{2y}=16\Leftrightarrow\left(x+4-3^y\right)\left(x+4+3^y\right)=16\)

Vì \(x+4+3^y>x+4-3^y\)nên 

Ta xét bảng giá trị: 

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}}{1+x+xy}+\frac{\sqrt{y}}{1+y+yz}+\frac{\sqrt{z}}{1+z+xz}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{x+xy+xyz}+\frac{xy\sqrt{z}}{xy+xyz+x^2yz}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{xy+x+1}+\frac{\sqrt{xy}.\sqrt{xyz}}{xy+x+1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{xy}}{xy+x+1}\le\frac{\frac{x+1}{2}+\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{xy+1}{2}}{xy+x+1}\) (bđt cosi)

=> \(P\le\frac{x+1+xy+x+xy+1}{2\left(xy+x+1\right)}=\frac{2\left(xy+x+1\right)}{2\left(xy+x+1\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra<=> x =  y = z = 1

Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z = 1