6) Chứng minh rằng : A = 1/22 + 1/42 + 1/62 + 1/82 + 1/102 + ... + 1/502 < 1/2
SOS !!! HELP ME !!!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề dãy só có quy luật, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng xét dãy số phụ như sau:
Giải:
Cho dãy số: 2; 14; 6; 18; 10; 22;...(1)
Các số ở vị trí lẻ của dãy (1) là các số thuộc dãy số:
2; 6; 10;...;
Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là: 6 - 2 = 4
Các số chẵn của dãy số (1) là các số thuộc dãy số:
14; 18; 22;...
Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 18 - 14 = 4
Vì số cần điền vào chỗ... của dãy (1) là số ở vị trí lẻ nên số cần điền vào chỗ... của dãy (1) là số thuộc dãy:
2; 6; 10;...
Vậy đó là số: 10 + 4 = 14
Chọn b; 14
Bài 2:
a: Xét ΔMNQ và ΔPQN có
\(\widehat{MNQ}=\widehat{PQN}\)(MN//PQ)
NQ chung
\(\widehat{MQN}=\widehat{PNQ}\)(MQ//NP)
Do đó: ΔMNQ=ΔPQN
b:
ΔMNQ=ΔPQN
=>MQ=PN; MN=PQ
Xét ΔOMN và ΔOPQ có
\(\widehat{OMN}=\widehat{OPQ}\)(MN//PQ)
MN=PQ
\(\widehat{ONM}=\widehat{OQP}\)(MN//PQ)
Do đó: ΔOMN=ΔOPQ
=>OM=OP
=>O là trung điểm của MP
c: ΔOMN=ΔOPQ
=>ON=OQ
Xét ΔOAN và ΔOBQ có
\(\widehat{ONA}=\widehat{OQB}\)(NA//BQ)
ON=OQ
\(\widehat{AON}=\widehat{BOQ}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOAN=ΔOBQ
=>AN=BQ
=>\(BQ=\dfrac{1}{2}MQ\)
=>B là trung điểm của MQ
Xét ΔMQN có
NB,MO là các đường trung tuyếm
NB cắt MO tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔMQN
=>\(MG=\dfrac{2}{3}MO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot MP=\dfrac{1}{3}MP\)
=>MP=3MG
Bài 1:
a: Xét ΔOPQ và ΔOMN có
OP=OM
\(\widehat{POQ}=\widehat{MON}\)(hai góc đối đỉnh)
OQ=ON
Do đó: ΔOPQ=ΔOMN
b: ΔOPQ=ΔOMN
=>\(\widehat{OPQ}=\widehat{OMN}\)
=>PQ//MN
Xét ΔONP và ΔOQM có
ON=OQ
\(\widehat{NOP}=\widehat{QOM}\)(hai góc đối đỉnh)
OP=OM
Do đó: ΔONP=ΔOQM
=>NP=QM
c: ΔOMN=ΔOPQ
=>MN=PQ
mà \(NF=\dfrac{NM}{2};QE=\dfrac{QP}{2}\)
nên NF=QE
Xét ΔFNO và ΔEQO có
FN=EQ
\(\widehat{FNO}=\widehat{EQO}\)
NO=QO
Do đó: ΔFNO=ΔEQO
=>\(\widehat{FON}=\widehat{EOQ}\)
=>\(\widehat{FON}+\widehat{FOE}=180^0\)
=>N,O,E thẳng hàng
\(P\left(x\right)=\left(x-b\right)\left(x^2-5x+a\right)\)
Q(x)=x3+125
Để P(x)=Q(x) thì \(\left(x-b\right)\left(x^2-5x+a\right)=x^3+125\)
=>\(x^3-5x^2+a\cdot x-bx^2+5b\cdot x-ab=x^3+125\)
=>\(x^2\left(-b-5\right)+x\left(a+5b\right)-ab=125\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-b-5=0\\a+5b=0\\-ab=125\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-5\\a=-5b=-5\cdot\left(-5\right)=25\\-25\cdot\left(-5\right)=125\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)
=>a=25 và b=-5
3 x \(\dfrac{3}{4}\) - \(\dfrac{1}{2}\)
= \(\dfrac{9}{4}\) - \(\dfrac{1}{2}\)
= \(\dfrac{9}{4}\) - \(\dfrac{2}{4}\)
= \(\dfrac{7}{4}\)
Chọn C. \(\dfrac{7}{4}\)
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình \(x^2-3x+m=0\)(1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
Thay x=1 vào (1), ta được:
\(1^2-3\cdot1+m=0\)
=>m+1-3=0
=>m=2
\(\text{Δ}=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot m=-4m+9\)
Để (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}>0\\m\ne2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-4m+9>0\\m\ne2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< 2,25\\m\ne2\end{matrix}\right.\)
Gọi số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm được theo kế hoạch là \(x\) (sản phẩm; \(x\in \mathbb{N}^*\))
Thời gian phân xưởng làm xong theo kế hoạch là: \(\dfrac{900}{x}\) (ngày)
Thực tế mỗi ngày phân xưởng đã làm được: \(x+15\) (sản phẩm)
Thời gian phân xưởng làm xong trên thực tế là: \(\dfrac{900}{x+15}\) (ngày)
Vì thực tế phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm trước thời hạn 3 ngày nên ta có phương trình:
\(\dfrac{900}{x}-\dfrac{900}{x+15}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{900\left(x+15\right)-900x}{x\left(x+15\right)}=3\)
\(\Rightarrow13500=3x\left(x+15\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+15x-4500=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-60x+75x-4500=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-60\right)\left(x+75\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-60=0\\x+75=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=60\left(\text{thỏa mãn}\right)\\x=-75\left(\text{không thỏa mãn}\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải làm 60 sản phẩm.
\(\text{#}Toru\)
\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1\cdot2}=1-\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)
...
\(\dfrac{1}{25^2}< \dfrac{1}{24\cdot25}=\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{25}\)
Do đó: \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{25^2}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{25}\)
=>\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{25^2}< 1-\dfrac{1}{25}\)
=>\(1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{25^2}< 2-\dfrac{1}{25}\)
=>\(A=\dfrac{1}{2^2}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{25^2}\right)< \dfrac{1}{4}\left(2-\dfrac{1}{25}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{2}\)