Bài 28 (trang 18 SGK Toán 9 Tập 1)
Tính
a) ; b) ;
c) ; d) .
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐK: a \(\ge\)1
\(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}\)
\(=\sqrt{a-1+2\sqrt{a-1}+1}+\sqrt{a-1-2\sqrt{a-1}+1}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2}\)
= \(\sqrt{a-1}+1+\left|\sqrt{a-1}-1\right|\)
Xét a \(\ge\)2 => \(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=\sqrt{a-1}+1+\sqrt{a-1}=2\sqrt{a-1}\)
Xét \(0\le a< 2\) => \(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=\sqrt{a-1}+1+1-\sqrt{a-1}=2\)
A B O C D E M H K
a)Ta có: EA \(\perp\)AB (t/c tiếp tuyến) => \(\widehat{OAE}=90^0\)
OD \(\perp\)EC (t/c tiếp tuyến) => \(\widehat{ODE}=90^0\)
Xét t/giác AODE có \(\widehat{OAE}+\widehat{ODE}=90^0+90^0=180^0\)
=> t/giác AODE nt đường tròn (vì tổng 2 góc đối diện = 1800)
b) Xét \(\Delta\)EKD và \(\Delta\)EDB
có: \(\widehat{BED}\):chung
\(\widehat{EDK}=\widehat{EBK}=\frac{1}{2}sđ\widebat{KD}\)
=> \(\Delta\)EKD ∽ \(\Delta\)EDB (g.g)
=> \(\frac{ED}{EB}=\frac{EK}{ED}\)=> ED2 = EK.EB (1)
Ta có: AE = ED (t/c 2 tt cắt nhau) => E thuộc đường trung trực của AD
OA = OD = R => O thuộc đường trung trực của AD
=> EO là đường trung trực của ED => OE \(\perp\)AD
Xét \(\Delta\)EDO vuông tại D có DH là đường cao => ED2 = EK.EB (2)
Từ (1) và (2) => EH.EO = DK.EB => \(\frac{EH}{EB}=\frac{EK}{EO}\)
Xét tam giác EHK và tam giác EBO
có: \(\widehat{OEB}\): chung
\(\frac{EH}{EB}=\frac{EK}{EO}\)(cmt)
=> tam giác EHK ∽ tam giác EBO (c.g.c)
=> \(\widehat{EHK}=\widehat{KBA}\)
c) Ta có: OM // AE (cùng vuông góc với AB) => \(\frac{OM}{AE}=\frac{MC}{EC}\)(hq định lí ta-lét)
=> OM.EC = AE.MC
Ta lại có: \(\frac{EA}{EM}-\frac{MO}{MC}=\frac{EA.MC-MO.EM}{EM.MC}=\frac{MO.EC-MO.EM}{EM.MC}=\frac{OM.MC}{EM.MC}=\frac{OM}{EM}\)
Mặt khác: OM // AE => \(\widehat{MOE}=\widehat{OEA}\)(slt)
mà \(\widehat{AEO}=\widehat{OEM}\)(t/c 2 tt cắt nhau)
=> \(\widehat{MOE}=\widehat{MEO}\) => tam giác OME cân tại M => OM = ME
=> \(\frac{OM}{EM}=1\)
=> \(\frac{EA}{EM}-\frac{OM}{MC}=1\)
a, \(\sqrt{x^2+12x+40}\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow x^2+12x+40\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)^2+4\ge0\)
Ta có: \(\left(x+6\right)^2\ge0\forall x\)=>\(\left(x+6\right)^2+4\ge4\forall x\)
Vậy biểu thức trên xác định với mọi x
b,\(\frac{1}{\sqrt{9x^2-6x+1}}\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow9x^2-6x+1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2>0\)
Vậy biểu thức trên xác định với mọi \(x\ne\frac{1}{3}\)
c, \(\sqrt{\left(4x^2+2x+3\right)\left(3-2x\right)}\)
Ta có: \(4x^2+2x+3=\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\)mà\(\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\ge\frac{11}{4}\forall x\)nên \(4x^2+2x+3\ge0\forall x\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow3-2x\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\le\frac{3}{2}\)
d,\(\sqrt{\frac{2x^2+3x+16}{5-7x}}\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2+3x+16\ge0\\5-7x>0\end{cases}}\)
Ta có: \(2x^2+3x+16\)\(=\left(\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2+\frac{119}{8}\ge0\)\(\forall x\)
Vậy biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow5-7x>0\)\(\Leftrightarrow x< \frac{5}{7}\)
e,\(\sqrt{16x^2-25}\)
=\(\sqrt{\left(4x-5\right)\left(4x+5\right)}\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x-5\ge0\\4x+5\ge0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}4x-5\le0\\4x+5\le0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{5}{4}\\x\ge\frac{-5}{4}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x\le\frac{5}{4}\\x\le\frac{-5}{4}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x\ge\frac{5}{4}\)hoặc \(x\le\frac{-5}{4}\)
f, \(\sqrt{16-9x^2}\)
=\(\sqrt{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4-3x\ge0\\4+3x\ge0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}4-3x\le0\\4+3x\le0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le\frac{4}{3}\\x\ge\frac{-4}{3}\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{4}{3}\\x\le\frac{-4}{3}\end{cases}}\)(vô lý)
Vậy biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\frac{-4}{3}\le x\le\frac{4}{3}\)
g, \(\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\x+2>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\x>-2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x\ge1\)
h, \(\frac{1}{\sqrt{x^2-2x-3}}\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow x^2-2x-3>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+x-3>0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-3\right)+\left(x-3\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1>0\\x-3>0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x+1< 0\\x-3< 0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>-1\\x>3\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x< -1\\x< 3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x>3\)hoặc \(x< -1\)
\(P=\left(1+2a\right)\left(1+2bc\right)\le\left(1+2a\right)\left(1+b^2+c^2\right)=\left(1+2a\right)\left(2-a^2\right)\)
\(=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}a\right)\left(2-a^2\right)\le\frac{3}{8}\left(\frac{8}{3}+\frac{4}{3}a-a^2\right)^2=\frac{3}{8}\left[\frac{28}{9}-\left(a-\frac{2}{3}\right)^2\right]^2\)
\(\le\frac{3}{8}.\left(\frac{28}{9}\right)^2=\frac{98}{27}\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}b=c\\\frac{2}{3}+\frac{4}{3}a=2-a^2,a-\frac{2}{3}=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2}{3}\\b=c=\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{3}\end{cases}}\).
Vậy \(maxP=\frac{98}{27}\).
Ta co : \(P=2a+2bc+2abc+1\)
Ap dung bdt Co-si : \(P\le a^2+b^2+c^2+2abc+2=2abc+3\)
Tiep tuc ap dung Co-si : \(1=a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}< =>\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le\frac{1}{3}\)
\(< =>a^2b^2c^2\le\frac{1}{27}< =>abc\le\frac{1}{\sqrt{27}}\)
Khi do : \(2abc+3\le2.\frac{1}{\sqrt{27}}+3=\frac{2}{\sqrt{27}}+3\)
Suy ra \(P\le a^2+b^2+c^2+2abc+2\le\frac{2}{\sqrt{27}}+3\)
Dau "=" xay ra khi va chi khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vay Max P = \(\frac{2}{\sqrt{27}}+3\)khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
p/s : khong biet dau = co dung k nua , minh lam bay do
\(\sqrt{\frac{2a}{9}}.\sqrt{\frac{25a}{32}}=\sqrt{\frac{2a}{9}.\frac{25a}{32}}=\sqrt{\frac{2.\left(5a\right)^2}{2.\left(3.4\right)^2}}=\frac{5a}{12}\)
\(\sqrt{\frac{2a}{9}}\). \(\sqrt{\frac{25a}{32}}\)
\(=\)\(\sqrt{\frac{2a.25a}{9.32}}\)
\(=\)\(\sqrt{\frac{2.\left(5a\right)^2}{2.\left(3.4\right)^2}}\)
\(=\)\(\frac{5a}{12}\)
\(\frac{15}{\sqrt{6}+1}+\frac{4}{\sqrt{6}-2}+\frac{12}{\sqrt{6}-3}-\sqrt{6}\)
\(\frac{15\left(\sqrt{6}-1\right)}{6-1}+\frac{4\left(\sqrt{6}+2\right)}{6-2^2}+\frac{12\left(\sqrt{6}+3\right)}{6-3^2}-\sqrt{6}\)
\(\frac{15\sqrt{6}-15}{5}+\frac{4\sqrt{6}+8}{2}+\frac{12\sqrt{6}+36}{-3}-\sqrt{6}\)
\(\frac{5\left(3\sqrt{6}-3\right)}{5}+\frac{2\left(2\sqrt{6}+4\right)}{2}-\frac{3\left(4\sqrt{6}+12\right)}{3}-\sqrt{6}\)
\(3\sqrt{6}-3+2\sqrt{6}+4-4\sqrt{6}-12-\sqrt{6}\)
\(=-11\)
\(\frac{a\sqrt{a}-8+2a-4\sqrt{a}}{a-4}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\left(a-4\right)+2\left(a-4\right)}{a-4}\)
\(=\frac{\left(a-4\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{a-4}\)
\(=\sqrt{a}+2\)
\(\sqrt{a-1+2\sqrt{a-1}+1}+\sqrt{a-1-2\sqrt{a-1}+1}\)
\(\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2}\)
\(\left|\sqrt{a-1}+1\right|+\left|\sqrt{a-1}-1\right|\)
\(TH1:a\ge4\)
\(\sqrt{a-1}+1+\sqrt{a-1}-1=2\sqrt{a-1}\)
\(TH2:a< 4\)
\(\sqrt{a-1}+1+1-\sqrt{a-1}=2\)
a) Ta có:
\(\sqrt{\frac{289}{225}}=\sqrt{\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}}}=\sqrt{\frac{17^2}{15^2}}=\frac{17}{15}\)
b) Ta có:
\(\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\sqrt{\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}}=\sqrt{\frac{8^2}{5^2}}=\frac{8}{5}\)
c) Ta có:
\(\sqrt{\frac{0,25}{9}}=\sqrt{\frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}}=\sqrt{\frac{0,5^2}{3^2}}=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{6}\)
d) Ta có:
\(\sqrt{\frac{8,1}{1,6}}=\sqrt{\frac{81.0,1}{16.0,1}}=\sqrt{\frac{81}{16}}=\sqrt{\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}}=\sqrt{\frac{9^2}{4^2}}=\frac{9}{4}\)
a)Ta có: \(\sqrt{\frac{289}{225}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}}=\frac{17}{15}\)
b) Ta có: \(\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\frac{8}{5}\)
c) Ta có: \(\sqrt{\frac{0,25}{9}}=\frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{6}\)
d)Ta có : \(\sqrt{\frac{8,1}{1,6}}=\frac{\sqrt{8,1}}{\sqrt{1,6}}=\frac{\sqrt{8,1}.100}{\sqrt{1,6}.100}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\frac{9}{4}\)