a.

Em tự giải

b.

\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m^2+3\right)=6m+6>0\Rightarrow m>-1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+3\right)\\x_1x_2=m^2+3\end{matrix}\right.\)

\(\left(2x_1-1\right)\left(2x_2-1\right)=9\)

\(\Leftrightarrow4x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+1=9\)

\(\Leftrightarrow8\left(m+3\right)-2\left(m^2+3\right)-8=0\)

\(\Leftrightarrow-2m^2+8m+10=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

a.Em tự giải

b.

\(\Delta'=4-\left(m-1\right)>0\Rightarrow m< 5\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=20\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2\left(x_1+x_2\right)=20\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=20\)

\(\Leftrightarrow16-2\left(m-1\right)+8=20\)

\(\Rightarrow m=3\)

a. Em tự giải

b.

\(\Delta=9-4\left(4-3m\right)\ge0\Rightarrow m\ge\dfrac{7}{12}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-3\\x_1x_2=4-3m\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=7\)

\(\Leftrightarrow9-2\left(4-3m\right)=7\)

\(\Leftrightarrow4-3m=1\)

\(\Rightarrow m=1\) (thỏa mãn)

a. Em tự giải

b.

\(\Delta'=9-\left(2m-5\right)\ge0\Rightarrow m\le7\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=6\)

\(\Rightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=6\)

\(\Rightarrow\dfrac{6}{2m-5}=6\) \(\left(m\ne\dfrac{5}{2}\right)\)

\(\Rightarrow2m-5=1\)

\(\Rightarrow m=3\) (thỏa mãn)

a. Em tự giải

b.

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-4m\right)=4>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

c.

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-2\right)\\x_1x_2=m^2-4m\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{3}{x_1}+x_2=\dfrac{3}{x_2}+x_1\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{x_2}-\dfrac{3}{x_1}+x_1-x_2=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{3\left(x_1-x_2\right)}{x_1x_2}+x_1-x_2=0\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(\dfrac{3}{x_1x_2}+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta=0\left(ktm\right)\\m^2-4m=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m^2-4m+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=3\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

a. Em tự giải

b.

Để pt có nghiệm \(x=-2\)

\(\Rightarrow\left(-2\right)^2+2\left(m+5\right)-m+6=0\)

\(\Rightarrow m=-20\)

c.

\(\Delta=\left(m+5\right)^2-4\left(-m+6\right)=m^2+14m+1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=-m+6\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2x_2+x_1x_2^2=24\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=24\)

\(\Leftrightarrow\left(m+5\right)\left(-m+6\right)=24\)

\(\Leftrightarrow-m^2+m+6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Thay vào \(\Delta\) để kiểm tra thấy chỉ có \(m=3\) thỏa mãn \(\Delta>0\)

Vậy \(m=3\)

a. Em tự giải

b.

 \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+2\right)=2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+2\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-2\left(m^2+2\right)=10\)

\(\Leftrightarrow2m^2+8m-10=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-5\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

a. Em tự giải

b.

\(\Delta'=4-\left(m+1\right)\ge0\Rightarrow m\le3\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=5\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow16-2\left(m+1\right)=20\)

\(\Leftrightarrow m+1=-2\)

\(\Rightarrow m=-3\)

$C=x^{2018}+|y+3|+\sqrt{\frac{3}{5}z-1}$
Ta thấy:

$x^{2018}\geq 0$ với mọi $x$

$|y+3|\geq 0$ với mọi $y$

$\sqrt{\frac{3}{5}z-1}\geq 0$ với mọi $z\geq \frac{5}{3}$
$\Rightarrow C\geq 0+0+0=0$ 

Vậy $C_{\min}=0$

Giá trị này đạt tại $x=|y+3|=\frac{3}{5}z-1=0$

$\Leftrightarrow x=0; y=-3; z=\frac{5}{3}$

$D=5-\sqrt{x^2+1}$
Vì $x^2\geq 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow x^2+1\geq 1$

$\Rightarrow \sqrt{x^2+1}\geq 1$

$\Rightarrow D=5-\sqrt{x^2+1}\leq 5-1=4$
Vậy $D_{\max}=4$. Giá trị này đạt tại $x^2=0\Leftrightarrow x=0$

a.

Theo giả thiết, do \(AH\perp BC;BK\perp AD;BI\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AKB}=\widehat{AIB}=90^0\)

\(\Rightarrow5\) điểm H, K, I, A, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Nên tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn đường kính AB

\(\Rightarrow\widehat{BIK}=\widehat{BAK}\) (cùng chắn AK)

Mà \(\widehat{BAK}=\widehat{BCD}\) (cùng chắn BD của (O))

\(\Rightarrow\widehat{BIK}=\widehat{BCD}\)

AD là đường kính của (O) \(\Rightarrow\widehat{ACD}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow CD\perp AC\Rightarrow CD||BI\) (cùng vuông góc AC)

\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{IBC}\) (so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{BIK}=\widehat{IBC}\) (1)

Mà \(\widehat{IBC}=\widehat{CAH}\) (cùng phụ \(\widehat{ACB}\)) (2)

\(\widehat{CAH}+\widehat{IKH}=180^0\) (do AIKH nội tiếp) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{BIK}+\widehat{IKH}=180^0\)

\(\Rightarrow HK||BI\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

\(\Rightarrow HK\perp AC\) (do \(BI\perp AC\))

c.

Gọi E là giao điểm của IK và BC

Từ (1): \(\widehat{BIK}=\widehat{IBC}\) \(\Rightarrow\Delta EBI\) cân tại E

\(\Rightarrow EB=EI\) (6)

Mặt khác \(BI\perp AC\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ECI}=90^0\)

\(\widehat{BIC}=90^0\Rightarrow\widehat{BIK}+\widehat{EIC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{EIC}\)

\(\Rightarrow\Delta EIC\) cân tại E

\(\Rightarrow EC=EI\) (7)

(6);(7) \(\Rightarrow EB=EC\)

Hay E là trung điểm của BC

Mà BC cố định nên E cố định

\(\Rightarrow\) Khi A di động trên cung lớn BC thì đường thẳng IK luôn đi qua điểm cố định là trung điểm của BC.