\(\sqrt[3]{4}+\frac{2}{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}\right)}\)

\(\sqrt[3]{4}+\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(\frac{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(\frac{2+2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(\frac{2\left(1+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(=2\)

Ta có: \(\sqrt{1+x^2+y^2}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^2}}=\sqrt{3}\sqrt[3]{xy}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{xy}}{xy}=\sqrt{3}\sqrt[3]{xy}z\)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{\sqrt{1+y^2+z^2}}{yz}\ge\sqrt{3}\sqrt[3]{yz}x,\frac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{zx}\ge\sqrt{3}\sqrt[3]{zx}y\)

Suy ra \(P\ge\sqrt{3}\left(\sqrt[3]{xy}z+\sqrt[3]{yz}x+\sqrt[3]{zx}y\right)\ge3\sqrt{3}\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^5y^5z^5}}=3\sqrt{3}\)

Dấu \(=\)khi \(x=y=z=1\).

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(P\ge sigma\frac{\sqrt{\left(1+x+y\right)^2}}{\sqrt{3}.xy}=\frac{z+xz+yz}{\sqrt{3}xyz}+\frac{x+xy+xz}{\sqrt{3}xyz}+\frac{y+yz+yx}{\sqrt{3}xyz}\)

\(=\frac{x+y+z+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{\sqrt{3}}\)

Theo AM-GM thì \(\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge6+3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)

Khi đó : \(\frac{x+y+z+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}}{\sqrt{3}}\ge\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy Min P = 3 căn 3 khi x=y=z=1 

okela -))

O A B D E C H P F N M I

a) Ta có \(\sin\widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat{BAC}=2\widehat{OAB}=60^0\)

Vì AB = AC nên \(\Delta ABC\) đều. Vậy \(BC=AB=OB\sqrt{3}=R\sqrt{3}\)

Gọi I là tiếp điểm của FN với (O). Ta có:

\(\widehat{MON}=\widehat{IOM}+\widehat{ION}=\frac{1}{2}\left(\widehat{IOB}+\widehat{IOC}\right)=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=60^0=\widehat{MCN}\)

Suy ra tứ giác MNCO nội tiếp.

b) Theo hệ thức lượng: \(\overline{AH}.\overline{AO}=AB^2=\overline{AD}.\overline{AE}\). Suy ra tứ giác DHOE nội tiếp

Ta thấy \(OD=OE,HO\perp HB\), do đó HO,BC là phân giác ngoài và phân giác trong \(\widehat{DHE}\)

Dễ thấy D và P đối xứng nhau qua OA vì dây cung \(DP\perp OA\)

Vì \(\widehat{DHE}+\widehat{DHP}=2\left(\widehat{DHB}+\widehat{DHA}\right)=180^0\) nên P,H,E thẳng hàng.

c) Do N,O,E thẳng hàng nên \(\widehat{DOE}=180^0-\widehat{MON}=120^0\). Suy ra \(DE=R\sqrt{3}\)

Theo hệ thức lượng thì:

\(AD.AE=AB^2\Rightarrow AD^2+AD.DE=AB^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-\left(\frac{AB}{DE}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-1=0\) vì \(AB=DE=R\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{AD}{DE}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(c\right)\\\frac{AD}{DE}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(l\right)\end{cases}}\) vì \(\frac{AD}{DE}>0\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)

\(=\frac{n+1-n}{n\sqrt{n+1}+\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)

\(VT=\frac{n+1-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(dpcm\right)\)

Đặt tổng trên là A

\(2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{101}\)

\(A=2A-A=2^{101}-2=2\left(2^{100}-1\right)\Rightarrow A=2^{100}-1\)

\(2^{100}=\left(2^4\right)^{25}=16^{25}\) có chữ số tận cùng là 6

\(\Rightarrow A=2^{100}-1\) có chữ số tận cùng là 5

Gọi số tự nhiên lớn cần tìm là a

       số tự nhiên bé cần tìm là b (a,b\(\in\)N; a,b>0)

Theo bài ra:

Tổng của chúng là 1903

=>a+b=1903(1)

Nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 3 và số dư là 107

=>a=3b+107(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trinh:

\(\hept{\begin{cases}a+b=1903\\a=3b+107\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=1903\\a-3b=107\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4b=1796\\a+b=1903\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=449\\a=1454\end{cases}}\)(TM)

Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là 1454 và 449

\(\hept{\begin{cases}2x\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=3\\2y\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{2x}{2y}=3\\2y\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x=3y\\2y\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\end{cases}=1}\)

\(2y\left(1+\frac{1}{9y^2+y^2}\right)=1\)

\(2y+\frac{2y}{10y^2}=1\)

\(2y+\frac{1}{5y}-1=0\)

\(10y^2+1-5y=0\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-\left(4.1.10\right)=25-40=-15< 0\)

lên pt vô nghiệm