a) Tam giác ABC nhọn:

b) Tam giác ABC vuông tại A:

c) Tam giác ABC có góc A tù:

Ta có: OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB ( tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

     OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC ( tính chất đường trung trực của đoạn thẳng). (2)

     OC = OA nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC ( tính chất đường trung trực của đoạn thẳng). (3)

Từ (1), (2), và (3) suy ra O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Ba đường trung trực của tam giác ABC có cùng đi qua một điểm là điểm O.

AD là phân giác của góc A nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

     AB = AC (tam giác ABC cân tại A);

     \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\);

     AD chung

Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\)(c.g.c) nên \(BD = CD\) (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\) D là trung điểm của cạnh BC.

Vì \(\Delta ABD = \Delta ACD\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) ( 2 góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {ADC}=180^0\) (2 góc kề bù) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ  \Rightarrow AD \bot BC\).

Vậy AD là đường trung trực của tam giác ABC.

Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC.

Để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121, ta xác định ba đường trung trực của tam giác được tạo thành từ ba đỉnh đó rồi xác định giao điểm của đường trung trực đó.

a) Ta có: AB < AC nên \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB}\)(góc ABC đối diện với cạnh AC; góc ACB đối diện với cạnh AB).

Mà BI và CI là hai đường phân giác của góc ABC và góc ACB nên: \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\)

(Vì: \(\widehat {CBI} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC};\widehat {ACI} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}\)).

b) Ta có: \(\widehat {ACI} = \widehat {BCI}\)

Mà \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\) ( câu a) 

Do đó \(\widehat {CBI} > \widehat {BCI}\).

Mà IC đối diện với góc CBI; IB đối diện với góc BCI.

Vậy IC > IB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn).

a) I là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc A, B, C nên:

     \(\widehat {IAB} = \widehat {IAC};\widehat {IBA} = \widehat {IBC};\widehat {ICB} = \widehat {ICA}\).

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên:

     \(\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {CBA} = 180^\circ \\\widehat {IAB} + \widehat {IAC} + \widehat {IBA} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} + \widehat {ICA} = 180^\circ \\2\widehat {IAB} + 2\widehat {IBC} + 2\widehat {ICA} = 180^\circ \end{array}\)

Vậy \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \).

b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. Xét tam giác BIC:

\(\begin{array}{l}\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \\\widehat {BIC} = 180^\circ  - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\end{array}\).

Mà  \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \)→ \(\widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ  - \widehat {IAB}\).

Vậy: \(\begin{array}{l}\widehat {BIC} = 180^\circ  - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\\\widehat {BIC} = 180^\circ  - (90^\circ  - \widehat {IAB})\\\widehat {BIC} = 90^\circ  + \widehat {IAB}\end{array}\)

Mà \(\widehat {IAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\)(IA là phân giác của góc BAC).

Vậy \(\widehat {BIC} = 90^\circ  + \widehat {IAB} = 90^\circ  + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\). 

a) Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay IM = IN = IP.

Vậy các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân tại I.

b)

Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:

     IC chung;

     IN = IM.

Vậy \(\Delta INC = \Delta IMC\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra: CN = CM ( 2 cạnh tương ứng).

Vậy tam giác CMN có là tam giác cân.

Tương tự, ta có: AP = AN; BP = BM.

Vậy các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân.

Gọi D là giao điểm của IC và MN; E là giao điểm của IA và PN; F là giao điểm của IB và PM.

Ta có: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay IM = IN = IP.

Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:

     IC chung;

     IN = IM.

Vậy \(\Delta INC = \Delta IMC\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {MIC} = \widehat {NIC}\)( 2 góc tương ứng).

Tương tự: \(\Delta IPA = \Delta INA\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIA} = \widehat {NIA}\)( 2 góc tương ứng).

     \(\Delta IPB = \Delta IMB\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIB} = \widehat {MIB}\)( 2 góc tương ứng).

Xét hai tam giác IDN và IDM có:

     ID chung;

     \(\widehat {NID} = \widehat {MID}\);

     IN = IM.

Vậy \(\Delta IDN = \Delta IDM\)(c.g.c)

\(\Rightarrow DN = DM\) ( 2 cạnh tương ứng);

 \(\widehat {IDN} = \widehat {IDM}\) ( 2 góc tương ứng)

Mà  \(\widehat {IDN} + \widehat {IDM}=180^0\) ( 2 góc kề bù)

\(\Rightarrow \widehat {IDN} = \widehat {IDM}= 180^0:2=90^0\).

Suy ra: IC là đường trung trực của cạnh MN.

Tương tự ta có:

IA là đường trung trực của cạnh PN; IB là đường trung trực của cạnh PM.