\(a,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\)( BĐT cô-si dạng engel)

\(\frac{4}{2+a+b}\le\frac{4}{2+2\sqrt{ab}}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}=VP\)(bđt tương đương)

vậy cả hai bđt dấu "=" xảy ra đồng thời

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}\\a=b=1\end{cases}}\)

vậy \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi \(a=b=1\)

\(b,\)\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi bđt cô -si không xảy ra dấu bằng

và bđt tương đương xảy ra dấu bằng

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{2+a+b}{1+a+b+ab}>\frac{4}{2+a+b}\\4+4\sqrt{ab}=4+2a+2b\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}4+a^2+b^2+4a+4b+2ab>4+4a+4a+4ab\\2\sqrt{ab}=a+b\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2>2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)

\(0>2ab\)

\(ab< 0\)

rồi chia ra từng TH 

ra đc \(TH1:\hept{\begin{cases}a< 0\\b>0\end{cases}}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}a>0\\b< 0\end{cases}}\)

\(c,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi 

bđt cô- si dạng engel lớn hơn hoặc bằng còn bđt tương đương thì dấu bằng xảy ra

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)

\(< =>0\ge2ab\)

vì đề bài cho \(a,b>0\)lên dấu bằng không xảy ra

vậy không có giá trị a,b nào thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)

câu d lập luận như các câu trên cậu làm nốt nha

\(\left(3-\sqrt{5}\right)\sqrt{3+\sqrt{5}}+\left(3+\sqrt{5}\right)\sqrt{3-\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{3-\sqrt{5}}\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt{6-2\sqrt{5}}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1\right)\)

\(=2\sqrt{10}\)

A D B C O

ta có \(\frac{1}{AO^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2}\Rightarrow AD=\sqrt{117}cm\)

ta có \(\widehat{ADB}=\widehat{ACD}\text{ (do cùng phụ với góc }\widehat{CDB}\text{)}\) nên \(\Delta ADB~\Delta DAC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow DC=\frac{DA^2}{AB}=\frac{9\sqrt{13}}{2}\)

ta có \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AD\left(AB+CD\right)=\frac{507}{4}cm^2\)

A B C H

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Ta có : \(\frac{HB}{HC}=\frac{1}{4}\Rightarrow HB=\frac{1}{4}HC\)

* Áp dụng hệ thức : \(AH^2=BH.HC=\left(\frac{1}{4}HC\right)HC=\frac{1}{4}HC^2\)

\(\Rightarrow196=\frac{1}{4}HC^2\Leftrightarrow HC^2=784\Leftrightarrow HC=28\)cm 

=> HB = 28/4 = 7 cm 

=> BC = HB + HC = 28 + 7 = 35 cm 

Áp dụng định lí Pytago tam giác AHB vuông tại H 

\(AB^2=BH^2+AH^2=49+196=245\Rightarrow AB=7\sqrt{5}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AC=\frac{AH.BC}{AB}=14\sqrt{5}\)cm

Chu vi tam giác ABC là : \(P_{ABC}=AB+AC+BC=35+21\sqrt{5}\)cm