Các cột chia bức tường thành số khoảng là: \(33:3=11\) (khoảng)

Số cột cần thiết là: \(11+1=12\) (cái)

\(\overline{78x5y}⋮2;\overline{78x5y}⋮5\Rightarrow y=0\)

\(\Rightarrow\overline{78x5y}=\overline{78x50}\)

\(\Rightarrow\overline{78x50}+2=\overline{78x52}⋮3\Rightarrow7+8+x+5+2=22+x⋮3\Rightarrow x=2\)

hoặc \(x=5\) hoặc \(x=8\)

1/2 của 50 là

50x 1/2 = 25

vậy 1/2 của 50 là 25

2/5 của 120kg là

120 x 2/5 = 48 (kg)

2/5 của 120kg  là 48kg

\(\dfrac{1}{2}\) của 50 là:

\(\dfrac{1}{2}\times50=25\) 

Vậy: \(\dfrac{1}{2}\) của 50 là 25

\(\dfrac{2}{5}\) của 120 ki-lô-gam là:

\(\dfrac{2}{5}\times120=48\left(kg\right)\) 

Vậy: \(\dfrac{2}{5}\) của 120 kg là 48 kg.

Ta có

\(4^{30}=2^{30}.2^{30}=\left(2^3\right)^{10}.\left(2^2\right)^{15}>8^{10}.3^{15}=3^5.3^{10}.8^{10}=3^5.24^{10}>3.24^{10}\)

\(\Rightarrow2^{30}+3^{30}+4^{30}>3.24^{10}\)

Ta xét: (a^5 - a) + (b^5 - b) + (c^5 - c)

Ta có: a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a² - 1)(a² + 1) = a(a - 1)(a + 1)(a² + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5) 
= a(a - 1)(a + 1)[ (a² - 4) + 5) ] 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 

Do (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 2, 3, 5 và 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5 và 2, 3 hay chia hết cho 2*3*5=30 

=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 30. 

=> a^5 - a chia hết cho 30 

=> (a^5 -a) + (b^5 -b) + (c^5 -c) = (a^5+b^5+c^5) -(a+b+c) chia hết cho 30 (*) 

Do (a+b+c) chia hết cho 30 

(*) => (a^5+b^5+c^5) chia hết cho 30

Trả lời:

Ta thấy : $a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right).$

$=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)$

$=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)$

$=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)$

Ta có :$\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)$là tích 5 số tự nhiên liên tiếp :

$\Rightarrow \left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)$$⋮$$5$và cũng $⋮$$6$( cũng là 3 số tự nhiên liên tiếp )

$\Rightarrow \left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)$$⋮$$30$$\left(1\right)$

Ta lại có : $5$$⋮$$5$và $\left(a-1\right)a\left(a+1\right)$$⋮$$6$

$\Rightarrow 5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)$$⋮$$30$$\left(2\right)$

Từ ( 1 ) và ( 2 ) $\Rightarrow \left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)$$⋮$$30$

Hay $a^5-a$$⋮$$30$

Tương tự $b^5-b$và $c^5-c$cũng chia hết cho 30 

$\Rightarrow a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)$$⋮$$30$

Mà $a+b+c$$⋮$$30$

$\Rightarrow a^5+b^5+c^5$$⋮$$30$$\left(đpcm\right)$

1/

B=2002.2004=(2003-1).(2003+1)=2003.2003-1<A=2003.2003

2/

A=(2070-80).(2000+10)=2070.2000+20700-160000-80<B=2070.2000

Gọi \(a^2=x^2-4x+11\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(x^2-4x+11\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(x^2-4x+4\right)-7=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(x-2\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(a-x+2\right)\left(a+x-2\right)=7\)

... (Đoạn này thì tự làm nhaa)

Đáp án:

$x=5$

Giải thích các bước giải:

$D=x^2-4x+11$ là số chính phương

$\to x^2-4x+11=k^2(k\in N^{\ast })$

$\to (x^2-4x+4)-k^2=-7$

$\to (x-2+k)(x-2-k)=-7(\ast )$

Do $k\in N^{\ast }$

nên $x\in Z$

$\Rightarrow (\ast )$ là phương trình ước số của $-7$

Ta có:

$-7=(-1).7=1.(-7)=(-7).1=7.(-1)$

Ta được:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x+k-2=-1\\ x-k-2=7\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x+k-2=1\\ x-k-2=-7\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x+k-2=-7\\ x-k-2=1\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x+k-2=7\\ x-k-2=-1\end{array}\end{array}$

$\iff \begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x=5\\ k=-4\end{array}\left(loại\right)\\ \{\begin{array}{c}x=-1\\ k=2\end{array}\left(loại\right)\\ \{\begin{array}{c}x=-1\\ k=-4\end{array}\left(loại\right)\\ \{\begin{array}{c}x=5\\ k=4\end{array}\left(nhận\right)\end{array}$

Vậy $x=5$

ĐK: \(x\ge0\)

Ta có: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}+1}\Leftrightarrow2A=\dfrac{2\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+1}=\dfrac{2\sqrt{x}+1+1}{2\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}+1}+1\)

Ta thấy vì: \(2\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow2\sqrt{x}+1\ge1\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{x}+1}\le1\)

\(\Rightarrow2A\le1+1=2\Leftrightarrow A\le1\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = 0

TL:

B=  2002.2004 = (2003-1).(2003+1) = 2003^2 -1. Mà A= 2003^2 => B < A