a/ \(A=\frac{2x^2+2}{x^4+2x^3+6x^2+2x+5}=\frac{2\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2x+5\right)}=\frac{2}{x^2+2x+5}\)

b/ Ta có : \(x^2+2x+5=\left(x+1\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow A=\frac{2}{\left(x+1\right)^2+4}\le\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = -1

Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 1/2 khi x = -1

\(\left(1-2x\right)\left(x-3\right)=-2x^2+7x-3=-2\left(x-\frac{7}{4}\right)^2+\frac{25}{8}\le\frac{25}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 7/4

Vậy BT đạt giá trị lớn nhấ bằng 25/8 khi x = 7/4

Ta có :

\(\left(a+b\right)^3=1^3=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-a^3-b^3=1-1\)

\(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-a^3-b^3=0\)

\(\Rightarrow3ab\left(a+b\right)=0\)

Mà \(a+b=1\)

\(\Rightarrow ab=0\)

Lại có :

\(\left(a+b\right)^2=1^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+0=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=0\)

\(\left(a+b\right)^4=1^4\)

\(\Rightarrow a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=1\)

\(\Rightarrow\left(a^4+b^4\right)+ab\left(4a^2+6ab+4b^2\right)=1\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+0=1\)

\(\Rightarrow a^4+b^4=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=a^4+b^4=1\)

Vậy ...

Nếu \(A=15x-23y\text{⋮}13\)

Mà \(13x-26y\text{⋮}13\)

\(\Rightarrow A-\left(13x-26y\right)=2x+3y\text{⋮}13\)

\(\Rightarrow B\text{⋮}13\)

Nếu \(B=2x+3y\text{⋮}13\)

Mà \(3x-26y\text{⋮}13\)

\(\Rightarrow B+\left(13x-26y\right)=15x-23y\text{⋮}13\)

\(\Rightarrow A\text{⋮}13\)

Vậy ...

Muốn viết tất cả các số chẵn có 2 chữ số cần dùng bao nhiêu số lẻ

a) Ta có :

Góc BAD + Góc ADC = 180^o

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\widehat{BAD}+\frac{1}{2}\widehat{ADC}=\frac{1}{2}.180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MAD}+\widehat{MDA}=90^o\)

Xét \(\Delta MAD\)có \(\widehat{MAD}+\widehat{MDA}=90^o\Rightarrow\widehat{AMD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{AMF}=\widehat{DME}=90^o\)( SỬ dụng góc kề bù để suy ra )

Xét \(\Delta AMD\)và \(\Delta AMF:\)

\(\widehat{DAM}=\widehat{FAM}\)( AE là phân giác \(\widehat{A}\))

Chung cạnh AM

\(\widehat{AMD}=\widehat{AMF}\)( cmt )

\(\Rightarrow\Delta AMD=\Delta AMF\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow M\)là trung điểm DF

Xét \(\Delta AFM\)và \(\Delta EDM\), có :

\(\widehat{AFM}=\widehat{EDF}\)( 2 góc so le trong vì AF//DE )

\(FM=DM\)( M là trung điểm DF )

\(\widehat{FMA}=\widehat{DME}=90^o\)

\(\Rightarrow\Delta AMF=\Delta EMD\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow\)M là trung điểm AE

Tứ giác ADEF có hai đường chép vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi.

b) Từ N kẻ đường thằng song song với AB ( CD ); cắt BC tại K.

Có \(\widehat{FBN}=\widehat{BNK}\)( So le trong )

Mà \(\widehat{FBN}=\widehat{KBN}\)( BN là phân giác góc B )

\(\Rightarrow\widehat{BNK}=\widehat{KBN}\) nên tam giác KBN cân tại K; hay BK = NK

Tương tự chứng minh tam giác CNK cân tại K; hay NK = KC

\(\Rightarrow BK=KC;\)hay K là trung điểm BC

\(AB\text{//}CD\Rightarrow FB\text{//}EC\)

\(\Rightarrow FBCE\)là hình thang

Xét hình thang FBCE có :

\(NK\text{//}FB\text{//}FC\)

\(K\)là trung điểm BC

\(\Rightarrow NK\)là đường trung bình hình thang, hay N là trung điểm FE, tức N nằm trên EF

Vậy ...

c) \(AB=\frac{3}{2}AD\) nên đặt \(AD=2\alpha;AB=3\alpha\)

Ở phần a đã chứng minh \(\Delta AMD=\Delta AMF\Rightarrow AD=AF=2\alpha\)(2 cạnh tương ứng )

Xét tam giác EAF :  N là trung điểm FE ; M là trung điểm AE nên MN là đường trung bình

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}\left(2\alpha\right)=\alpha\)

Vì góc A = 120^o nên \(\widehat{FAM}=\frac{1}{2}.\widehat{A}=\frac{120^o}{2}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MFA}=90^o-\widehat{FAM}=30^o\)

Xét tam giác AMF vuông tại M có 2 góc nhọn là 60^o và 30^o \(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}FA=\frac{1}{2}\left(2\alpha\right)=\alpha\)(Mình chứng minh bên dưới 

Mà \(AM=ME\Rightarrow ME=\alpha\)

Do ABCD là hình bình hành nên góc BCD cũng bằng góc A và bằng 120^o

\(\Rightarrow\widehat{BCN}=\frac{1}{2}\widehat{C}=\frac{120^o}{2}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CBN}=90^o-\widehat{BCN}=30^o\)

Xét tam giác vuông BNC vuông tại N có 2 góc nhọn là 30^o và 60^o nên \(NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\left(2\alpha\right)=\alpha\)

AFED là hình thoi nên \(FA=DE=2\alpha\)

Lại có \(CD=AB=3\alpha\)

\(\Rightarrow CD-DE=EC=3\alpha-2\alpha=\alpha\)

Tứ giác \(MNCE\)có 4 cạnh bằng nhau và bằng \(\alpha\) nên là hình thoi.

Vậy ...

À quên :) Cách chứng minh một tam giác vuông có một góc 60 độ / 30 độ thì cạnh góc vuông nhỏ hơn sẽ bằng nửa cạnh huyền.

Xét tam giác SQP vuông tại Q và \(\widehat{P}=60^o;\widehat{S}=30^o\)

Trên tia đối của QP, lấy J sao cho JQ=QP.

Xét \(\Delta SJP\)có \(SQ\)vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên là tam giác cân, lại có  \(\widehat{S}=60^o\)nên là tam giác đều.

\(\Rightarrow JP=SQ\)

\(\Rightarrow2.QP=SQ\)

\(\Rightarrow SQ=\frac{1}{2}SQ\)

Vậy ...