\(a,\dfrac{1}{2023}>0;-\dfrac{5}{2024}< 0\\ Nên:-\dfrac{5}{2024}< 0< \dfrac{1}{2023}\Rightarrow-\dfrac{5}{2024}< \dfrac{1}{2023}\\ b,\dfrac{678}{876}< 1;\dfrac{987}{789}>1\\ Nên:\dfrac{678}{876}< 1< \dfrac{987}{789}\Rightarrow\dfrac{678}{876}< \dfrac{987}{789}\)

\(c,\dfrac{535353}{585858}=\dfrac{535353:10101}{585858:10101}=\dfrac{53}{58}=1-\dfrac{5}{58}\\ \dfrac{301}{306}=1-\dfrac{5}{306}\\ Vì:\dfrac{5}{58}>\dfrac{5}{306}\Rightarrow1-\dfrac{5}{58}< 1-\dfrac{5}{306}\\ Nên:\dfrac{535353}{585858}< \dfrac{301}{306}\)

\(d,\dfrac{9}{71}=\dfrac{9.3}{71.3}=\dfrac{27}{213}\\ Vì:\dfrac{27}{213}< \dfrac{27}{211}\\ Nên:\dfrac{9}{71}< \dfrac{27}{211}\)

\(3x-\dfrac{1}{2}=x+\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow3x-x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2x=1\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

\(4-\dfrac{7}{2}x-1=5\)

\(\Rightarrow3-\dfrac{7}{2}x=5\)

\(\Rightarrow\dfrac{7}{2}x=-2\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{7}{2}:-2\)

\(\Rightarrow x=-\dfrac{7}{4}\)

`3x -1/2 =x+1/2`

`=> 3x-x=1/2+1/2`

`=> 2x= 2/4 + 2/4`

`=> 2x= 1`

`=>x=1/2`

__

`4- 7/2 x -1=5`

`=> 4- 7/2x -1-5=0`

`=> -7/2x-2=0`

`=> -7/2x=2`

`=>x=2:(-7/2)`

`=>x= -7/4`

Ta có: 10 + 20 = 30 > 25

10 + 25 = 35 > 20

20 + 25 = 45 > 10

Vậy độ dài của thanh tre bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài 2 thanh còn lại.

Bộ thứ nhất ghép được thành tam giác.

Ta có: Góc NMB là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AMN nên góc NMB là góc tù.

Góc BNC là góc ngoài tại đỉnh N của tam giác ABN nên góc BNC là góc tù.

Xét tam giác MNB có góc NMB là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh NB đối diện với góc NMB nên là cạnh lớn nhất trong tam giác. Ta được NM < NB.(1)

Xét tam giác CNB có góc BNC là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh CB đối diện với góc BNC nên là cạnh lớn nhất trong tam giác. Ta được NB < CB.(2)

Từ (1) và (2) ta được NM < CB.

Vậy MN < BC.

Kẻ AH   BC.

a) Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ A điểm nằm ngoài đường thẳng BC đến đường thẳng BC thì đường vuông góc là đường ngắn nhất nên AM ngắn nhất khi M trùng H hay M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.

b) Cách 1:

+) Khi M trùng H thì AH < AB ( đường vuông góc luôn nhỏ hơn đường xiên)

+) Khi M nằm giữa B và H

Góc AMB là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên \(\widehat{AMB}>\widehat{AHM}= 90^0\) nên \(\widehat{AMB}\) là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác ABM.

Trong tam giác ABM, cạnh AB đối diện với góc lớn nhất nên cạnh AB lớn nhất (định lí). Do đó AM < AB.

+) Khi M nằm giữa C và H

Góc AMC là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên \(\widehat{AMC}>\widehat{AHM}= 90^0\) nên \(\widehat{AMC}\) là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác ACM

Trong tam giác ACM, cạnh AC đối diện với góc lớn nhất nên cạnh AC lớn nhất (định lí). Do đó AM < AC.

Mà AB = AC (gt)

\(\Rightarrow \) AM < AB

Vậy AM < AB

Cách 2:

Theo thử thách nhỏ trang 64, khi M thay đổi trên BC, M càng xa H thì AM càng lớn lên. Tuy nhiên, M nằm giữa B và C nên AM không vượt quá AB. Như vậy, AM < AB

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA ( tính chất)

a) Ta có: +) BA = BC nên đỉnh B cách đều hai điểm A và C

+) DA = DC nên đỉnh D cách đều hai điểm A và C

Vậy đỉnh B và D cách đều hai điểm A và C

b) +) Vì CB = CD nên khoảng cách từ C đến 2 đường thẳng AB và AD bằng nhau. Do đó đỉnh C cách đều 2 đường thẳng AB và AD.

+) Khoảng cách từ A đến AB bằng khoảng cách từ A đến AD ( bằng 0) nên A cách đều hai đường thẳng AB và AD.

Vậy đỉnh C và đỉnh A cách đều hai đường thẳng AB và AD.

Có vì chiều cao của tam giác ứng với một cạnh là đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện nên là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

+) TH1:

M nằm giữa H và N:

Vì góc AMN là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên  hay  là góc tù.

Xét tam giác AMN có  là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh AN đối diện với  nên là cạnh lớn nhất trong tam giác ( định lí)

Vậy AM < AN

+) TH2:

H nằm giữa M và N:

Lấy điểm M’ trên d sao cho HM’ = HM. Ta được AH là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ nên AM = AM’ ( tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Hơn nữa, AM’ < AN ( theo trường hợp 1)

AM < AN

Vậy AM < AN.

b)

Theo câu a, khi M thay đổi trên BC, M càng xa B thì AM càng lớn. Khi M trùng C thì M xa B nhất nên khi đó AM là lớn nhất.

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ O đến bờ bên kia của bể bơi thì OA là đường vuôn góc nên ngắn nhất (Định lí)