Ta có: \(x^2+y^2+z^2=1\)

\(\Rightarrow0\le x^2,y^2,z^2\le1\)

Theo đề bài thì:

\(2P-2=2\left(xy+yz+zx\right)-2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)

\(=-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)

\(=\left(x-y\right)^2\left(z^2-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(x^2-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(y^2-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow P\le1\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Với \(x^2+y^2+z^2=1\),ta có:

\(P=xy+yz+zx+\frac{1}{2}\left[x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\right]\)

\(=xy+yz+zx+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-x^2yz-xy^2z-xyz^2\)

\(=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xy\left(1-z^2\right)+yz\left(1-x^2\right)+zx\left(1-y^2\right)\)

\(=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xy\left(x^2+y^2\right)+yz\left(y^2+z^2\right)+zx\left(z^2+x^2\right)\)

\(=\frac{2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+\left(x^2+y^2\right)^2+\left(y^2+z^2\right)^2+\left(z^2+x^2\right)^2}{2}\)

\(=\frac{2\left(x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\right)}{2}=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Tam giác \(ABO\)vuông tại \(O\). Do đó điểm \(O\)luôn thuộc đường tròn đường kính \(AB\)(trừ 2 điểm \(A\)và \(B\)).

A B C D O

Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau, vậy điểm O nhìn AB cố định dưới góc 90^o.

Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB

Trình tự dựng gồm 3 bước:

- Dựng đoạn thẳng BC = 6cm

- Dựng cung chứa góc 40^o trên đoạn thẳng BC.

- Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:

Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn HH' = 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH' tại H

Gọi giao điểm xy và cung chứa góc là , . Khi đó tam giác ABC hoặc A'BC đều thỏa yêu cầu của đề toán

Cách dựng:

+ Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.

+ Dựng cung chứa góc 40º trên đoạn thẳng BC (tương tự bài 46) :

Dựng tia Bx sao cho 

Dựng tia By ⊥ Bx.

Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.

Dựng đường tròn (O; OB).

Cung lớn BC chính là cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC.

+ Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 4cm:

Lấy D là trung điểm BC.

Trên đường trung trực của BC lấy D’ sao cho DD’ = 4cm.

Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.

+ Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A.

Ta được ΔABC cần dựng.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 6cm.

+ A ∈ cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC

+ A ∈ d song song với BC và cách BC 4cm

⇒ AH = DD’ = 4cm.

Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

O A B C D I E K

Ta có :

\(\frac{KC}{sin\widehat{CAK}}=\frac{R\sqrt{2}}{sin\widehat{AKC}}=\frac{R\sqrt{2}}{sin\widehat{AED}}=\frac{AE}{sin\widehat{ADE}}=\frac{AE}{sin\widehat{BIE}}=\frac{AE}{sin\widehat{AIE}}=\frac{3R}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{AKC}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow AK=\frac{2}{3R}\)

áp dụng định lý Py ta go vào \(\Delta AOK\) ta được

\(AK^2=AO^2+OK^2\)

\(\Rightarrow OK=\sqrt{R^2-\frac{4}{9R^2}}=\sqrt{9R^4-4}\)

\(\Rightarrow DK=OD-OK=R-\sqrt{9R^4-4}\)

\(AK=\frac{2}{\sqrt{3}}R\) chứ bạn?

O A B C D E

a, vì \(AD\) là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}\) \(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)

mà \(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AEC}\) 

\(\Rightarrow\Delta ABD~\Delta AEC\) (g-g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}\Leftrightarrow AB.AC=AE.AD\)

b, Ta có :

\(\widehat{EBD}=\widehat{EBC}=\widehat{EAC}=\widehat{BAE}\)

\(\Rightarrow\Delta EBD~\Delta EAB\)(g-g)

\(\Rightarrow\frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EB}\Leftrightarrow ED.EA=EB^2\)

a)xét ΔABE và ΔADC có :

BÅE = DÅC (gt)

AEB=ACB=ACD(cùng chắn cung AB)

=>ΔABE≈ΔADC(g.g)

⇒\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AB}{AD}\)(hai cạnh t.ứ)

⇒AE.AD=AC.AB

b)Xét ΔBED và ΔAEB có :

góc E chung

góc EBD=gócEAC=gócEAB

⇒ΔBED ≈ ΔAEB(g.g)

⇒\(\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{EB}{EA}\)(hai cạnh t.ứ)

⇒ED.EA=EB²

cần hình ib mình mình gửi cho nhé =) 

a) 

Vì (O) và (O′) cắt nhau tại hai điểm A và B nên OO′ vuông AB ( định lý )

- Xét tam giác ADC

 Có OO′ là đường trung bình ( vì O là trung điểm AC , O′ là trung điểm của AD)

Nên => OO′ // CD 

=>  AB vuông CD ( Quan hệ từ vuông góc đến song song )

Xét tam giác ADC 

Có AC = AD ( vì hai đường tròn (O) và (O′) có cùng bán kính )

=> Tam giác ACD cân tại A có AB là đường cao nên AB cũng là đường trung tuyến

 =>  BC = BD hay cung BC = cung BD  (vì (O) và (O′)  là hai đường tròn bằng nhau )

b) Xét đường tròn (O′) có A , E , D cùng thuộc đường tròn và AD là đường kính nên tam giác AED vuông tại E

\(\Rightarrow DE\perp AC\Rightarrow\widehat{DEC}=90^o\)

- Xét \(\Delta DEC\)vuông tại E có B là trung điểm DC ( cmt )

\(\Rightarrow EB=\frac{DC}{2}=BD=EB\)

=> Cung EB = cung BD ( định lý )

 Do đó B là điểm chính giữa cung ED

 

Giải:

Nối M và K

Xét (O) có: \(\hat{AMK}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AK

                 \(\hat{KAB}\)  là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung nhỏ AK

\(\Rightarrow\) \(\hat{AMK}\) = \(\hat{KAB}\) ( cùng = 1/2 cung nhỏ AK )  (1)

Xét (O') có : \(\hat{BMK}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BK

                    \(\hat{KBA}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung nhỏ BK

\(\Rightarrow\) \(\hat{BMK}\) = \(\hat{KBA}\) ( cùng =1/2 cung nhỏ BK ) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\hat{AMK}\)+\(\hat{BMK}\)=\(\hat{KAB}\)+ \(\hat{KBA}\)

                      \(\Leftrightarrow\) \(\hat{AMB}\) = 50° = \(\hat{KAB}\) + \(\hat{KBA}\)

Xét △ KAB có: \(\hat{AKB}\) +(\(\hat{KAB}\) + \(\hat{KBA}\) )= 180° ( Tổng ba góc trong một tam giác)

                      \(\Leftrightarrow\) \(\hat{AKB}\) + 50° = 180°

                      \(\Leftrightarrow\)\(\hat{AKB}\) = 180°-50°

                    \(\Leftrightarrow\)\(\hat{AKB}\) = 130°

Vậy \(\hat{AKB}\) có số đo là 130°