cho 2 số thực x,y #0. CMR: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)
\(=x^3+1+x^2-1=x^3+x^2=x^2.\left(x+1\right)\)
Một hình chữ nhật có nửa chu vi 28cm , chiều dài hơn chiều rộng 12cm.Tìm diện tích hình chữ nhật đó.
chiều dài hình chữ nhật đó là : 28+12=40(cm)
diện tích hình chữ nhật đó là : 28x12=336(m2)
đáp số 336m2.
cho mình nha
Theo bài, ta có: \(\frac{x}{3}=\frac{y}{6}\)và \(x+y=90\)
Áp dụng tình chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{3}=\frac{y}{6}=\frac{x+y}{3+6}=\frac{90}{9}=10\)
\(\Rightarrow x=3.10=30\); \(y=6.10=60\)
Vậy \(x=30\)và \(y=60\)
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có
\(\frac{x}{3}\)\(=\)\(\frac{y}{6}\)\(=\)\(\frac{x+y}{3+6}\)\(=\)\(\frac{90}{9}\)\(=\)\(10\)
=>\(\hept{\begin{cases}3.9=27\\6.9=54\end{cases}}\)
vậy x=27 , y=54
đk: \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x^2\ge\sqrt{\frac{5}{6}}\end{cases}}\)
Ta có: \(x^2\ge\sqrt{\frac{5}{6}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{5}{x^2}>0\\6x^2-1>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(\sqrt{30-\frac{5}{x^2}}=\sqrt{\frac{5}{x^2}\left(6x^2-1\right)}\le\frac{\frac{5}{x^2}+6x^2-1}{2}\) (1)
Mà \(\sqrt{6x^2-\frac{5}{x^2}}=\sqrt{\left(6x^2-\frac{5}{x^2}\right)\cdot1}\le\frac{6x^2-\frac{5}{x^2}+1}{2}\) (2)
Cộng vế (1) và (2) lại ta được:
\(\sqrt{30-\frac{5}{x^2}}+\sqrt{6x^2-\frac{5}{x^2}}\le\frac{12x^2}{2}=6x^2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\frac{5}{x^2}=6x^2-1\\6x^2-\frac{5}{x^2}=1\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)
Vậy \(x\in\left\{-1;1\right\}\)
Theo đề bài ta có: \(\hept{\begin{cases}x>1\\y>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1>0\\y>0\end{cases}}\)
=> \(\frac{1}{\left(x-1\right)^3}>0\) ; \(\left(\frac{x-1}{y}\right)^3>0\) ; \(\frac{1}{y^3}>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1\ge3\cdot\frac{1}{x-1}=\frac{3}{x-1}\)
\(\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+1+1\ge3\cdot\frac{x-1}{y}=\frac{3\left(x-1\right)}{y}\)
\(\frac{1}{y^3}+1+1\ge3\cdot\frac{1}{y}=\frac{3}{y}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(\frac{1}{\left(x-1\right)^3}+\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+\frac{1}{y^3}+6\ge3\left(\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{y}+\frac{1}{y}\right)=3\left(\frac{1}{x-1}+\frac{x}{y}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x-1\right)^3}+\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+\frac{1}{y^3}\ge3\left[\left(\frac{1}{x-1}-2\right)+\frac{x}{y}\right]=3\left(\frac{3-2x}{x-1}+\frac{x}{y}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=a^2\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=a^2\)
Mà \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}=2\) (BĐT Cauchy)
\(\Rightarrow a^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\ge4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a\ge2\\a\le-2\end{cases}}\)
Ta có: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2+4\ge3a\)
\(\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a\ge2\\a\le1\end{cases}}\) Dấu "=" xảy ra khi: \(\orbr{\begin{cases}a=2\\a=1\end{cases}}\)
Nếu \(a=2\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{x}=\frac{2}{2}=1\Rightarrow x=y=1\)
Nếu \(a=1\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}y\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}}\Rightarrow x=y=0\left(ktm\right)\)
Vậy \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow x=y=1\)