\(\hept{\begin{cases}2x^4+3x^3+45x=27y^2\left(1\right)\\2y^2-x^2+1=\sqrt{3y^4-4x^2+6y^2-2x^2y^2}\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét (2) ta có

\(2y^2-x^2+1=\sqrt{3y^4-4x^2+6y^2-2x^2y^2}\)

Bình phương 2 vế rút gọn ta được

\(\Leftrightarrow y^4+x^4-2x^2y^2-2y^2+2x^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^4-2x^2y^2+y^4\right)-2\left(y^2-x^2\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-x^2-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow y^2=x^2+1\left(3\right)\)

Thế (3) vào (1) ta được

\(2x^4+3x^3+45x=27\left(x^2+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow25x^4-3x^3+54x^2-45x+27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(25x^4-\frac{2.5.3}{2.5}x^3+\frac{9}{100}x^2\right)+\left(\frac{5391}{100}x^2-\frac{2\sqrt{5391}.45.10}{10.\sqrt{5391}.2}x+\frac{5625}{599}\right)+\frac{10548}{599}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5x^2-\frac{3}{10}x\right)^2+\left(\frac{\sqrt{5391}}{10}x-\frac{45}{\sqrt{599}}\right)^2+\frac{10548}{599}=0\)

\(\Rightarrow\)PT vô nghiệm

PS: Đề có sai không mà nhìn gớm vậy bạn

\(\hept{\begin{cases}2x^4+3x^3+45x=27y^2\left(1\right)\\2y^2-x^2+1=\sqrt{3y^4-4x^2+6y^2-2x^2y^2}\left(2\right)\end{cases}}\)

ĐK: \(2y^2+1\ge1\)

Phương trình (2) tương đương:

\(\left(2y^2-x^2+1\right)^2=3y^4-4x^2+6y^2-2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow y^4+2x^2-2x^2y^2+x^4+1-2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1-y^2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=y^2\)

Thế \(x^2+1=y^2\) vào phương trình (1) ta có:

\(2x^4+3x^3+45x=27\left(x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^4+3x^3-27x^2+45x-27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(2x^3+6x^2-18x+18\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{13}}{2}\\x=-\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}-1\Rightarrow y=\sqrt{\left(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+1\right)^2+1}\end{cases}}\)

Vậy:.....

Sử dụng AM-GM:

\(\Sigma\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}=\Sigma\frac{\sqrt{ab}}{a+c+b+c}\le\frac{1}{2}\Sigma\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)=\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c

Bài giải:

Gọi lãi suất cho vay là x (%), x > 0

Tiền lãi sau một năm là: 2 000 000 . x / 100  hay 20000x (đồng)

Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là: 2 000 000 + 20000x (đồng)

Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là:

(2 000 000 + 20000x) x/100 hay 20000x + 200x²

Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả là:

2 000 000 + 40000x + 200x² 

Theo đầu bài ra ta có phương trình:

2 000 000 + 40 000x + 200x² = 2 420 000 hay x² + 200x - 2 100 = 0

Giải phương trình:

∆' = 100² - 1 . (-2 100) = 10 000 + 2 100 = 12 100 =>  √∆' = 110

nên x₁ = -100 - 110 / 1 = -210, x₂ = - 100 + 110 / 1 = 10

  Vì x > 0 nên  x₁ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: lãi suất là 10%.

Dễ !

Gọi lãi suất cho vay là : x ( x > 0 )

Lãi suất sau năm đầu tiên là : 2 000 000 . x

Số tiền mà bác phải trả sau năm đầu tiên là :

2 000 000 + 2 000 000x = 2 000 000 ( 1 + x )

Số tiền trên được tính theo vốn của năm thứ 2

Số tiền lãi của năm thứ 2 là :

2 000 000 . ( 1 + x )x

Số tiền vốn và lãi phải trả sau năm thứ 2 là :

2 000 000 . ( 1 + x ) + 2 000 000 ( 1 + x ) x = 2 000 000 ( 1 + x )²

•  Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

 Trang trước

Trang sau  

Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Video Bài 42 trang 58 SGK Toán 9 Tập 2 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 42 (trang 58 SGK Toán 9 Tập 2): Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

Lời giải

Gọi lãi suất cho vay là : x (x > 0).

Lãi suất sau năm đầu tiên là : 2 000 000.x

Số tiền bác phải trả sau năm đầu tiên là :

    2 000 000 + 2 000 000. x = 2 000 000.(1 + x)

Số tiền trên được tính là vốn của năm thứ hai.

Số tiền lãi của năm thứ hai là : 2 000 000.(1 + x).x

Số tiền vốn và lãi phải trả sau năm thứ hai là:

    2 000 000.(1 + x) + 2 000 000.(1 + x). x = 2 000 000.(1 + x)2

Theo đề bài ta có phương trình :

        2 000 000 . ( 1 + x )² = 2 420 000

    <=> ( 1 + x )² = 1,21

    <=> 1 + x = 1,1 ( Vì 1 + x > 0 )

    <=> x = 0,1 = 10%

Vậy lãi suất ngân hàng là 10% / năm

thỏa cái j thế :v

thiếu à

Đặt \(\sqrt{2x+3}=t\ge0\Rightarrow2x=t^2-3\)

\(pt\Leftrightarrow\left(t^2-3\right)^2+12-4t^2+t=1\)

\(\Leftrightarrow t^4-10t^2+t+20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t^2-t-4\right)\left(t^2+t-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\t=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\end{cases}}\) \(\left(t\ge0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\\x=\frac{5-\sqrt{21}}{4}\end{cases}}\)

củm ơn Thắng Nguyễn hị,,,

Oh my!!! Cuối cùng cũng ra!!!

Với mọi \(x\) ta luôn có \(ax^3+bx^2+cx=-1-x^4\).

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^6+x^4+x^2\right)\ge\left(ax^3+bx^2+cx\right)^2\)

Hay \(P\ge\frac{\left(x^4+1\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\).

Đặt \(y=x^2\), ta tìm min\(\frac{y^4+2y^2+1}{y^3+y^2+y}\).

Ta sẽ CM \(\frac{y^4+2y^2+1}{y^3+y^2+y}\ge\frac{4}{3}\) với mọi \(y\) dương.

Biến đổi tương đương ta có: \(\left(y-1\right)^2\left(3y^2+2y+3\right)\ge0\) (đúng).

Vậy \(P\ge\frac{4}{3}\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=-\frac{2}{3}\).

(Bất đẳng thức kiểu này quá khó!)

(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 1 = 0 
lim f(x) (x --> -∞, x --> +∞) = lim x^4*(1 + a/x + b/x^2 + c/x^3 - 1/x^4) = + ∞ 
=> tồn tại x1 và x2 thỏa mãn x1 < 0 < x2 sao cho f(x1) > 0, f(x2) > 0 
ta có f(0) = -1 < 0 => f(x1)*f(0) < 0, f(0)*f(x2) < 0 
=> trong (x1, 0) tồn tại x3 và trong (0, x2) tồn tại x4 rằng f(x3) = f(x4) = 0 

\(\hept{\begin{cases}x^2\left(4y+1\right)-2y=-3\\x^2\left(x^2-12y\right)+4y^2=9\end{cases}}\)

Ta có y = - 0,25 không phải là nghiệm của hệ nên

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\frac{2y-3}{4y+1}\\\frac{2y-3}{4y+1}\left(\frac{2y-3}{4y+1}-12y\right)+4y^2=9\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\frac{2y-3}{4y+1}\left(1\right)\\4y^4-4y^3-y^2-3=0\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow y\left(2y-3\right)\left(2y^2+y+1\right)=0\)

Ta đễ thấy 2y² + y + 1 > 0

Với y = 0 thì không tìm được x

Với y = \(\frac{3}{2}\)thì x = 0

đi rùi giải

Ý tưởng: Đặt \(xy=\frac{1}{k}\) hay \(y=\frac{1}{kx}\).

Ta có \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=4\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}+4k^2x^2=4\)

Suy ra \(\left(4k^2+2\right)x^4-4x^2+1=0\) 

Đặt \(X=x^2\). Giả thiết trở thành \(\left(4k^2+2\right)X^2-4X+1=0\) (1), trong đó \(X\) dương.

Do \(X\) tồn tại (theo đề bài) nên có thể coi (1) là phương trình tham số \(k\), và phải có nghiệm dương.

\(\Delta'=2^2-\left(4k^2+2\right)=2-4k^2\)

Nhận xét: Nếu (1) có 2 nghiệm (tính cả nghiệm kép) thì tổng và tích của chúng đều dương nên 2 nghiệm là dương.

Vậy chỉ cần \(\Delta'\ge0\), tức là \(-\sqrt{2}\le\frac{1}{k}\le\sqrt{2}\)

Vậy min\(M=2016-\sqrt{2}\)(đẳng thức xảy ra tại \(x=-\frac{1}{\sqrt{2}},y=2\),

max\(M=2016+\sqrt{2}\) (đẳng thức xảy ra tại \(x=-\frac{1}{\sqrt{2}},y=-2\)

bằng 20 đó bạn

Sửa đề là đường kính AB

Ta có: \(MA.MB\le\frac{MA^2+MB^2}{2}=\frac{AB^2}{2}=\frac{4R^2}{2}=2R^2\)

Ta có

\(\frac{1}{MA^2}+\frac{1}{MB^2}=\frac{MA^2+MB^2}{MA^2.MB^2}=\frac{AB^2}{MA^2.MB^2}=\frac{4R^2}{MA^2.MB^2}\)

\(\ge\frac{4R^2}{\left(2R^2\right)^2}=\frac{4R^2}{4R^4}=\frac{1}{R^2}\)

Dấu = xảy ra khi MA = MB hay M là điểm chính giữa cung AB

Mình nhớ không nhầm thì theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có  \(\frac{1}{MA^2}+\frac{1}{MB^2}=\frac{1}{MH^2}\ge\frac{1}{R^2}\)