Đặt B là mẫu thức của P thì :

B = ab(x - y)² + bc(y - z)² + ca(z - x)² = abx² - 2abxy + aby² + bcy² - 2bcyz + bcz² + caz² - 2cazx + cax²

   = ax²(b + c) + by²(a + c) + cz²(a + b) - 2(bcyz + acxz + abxy) (1)

ax + by + cz = 0 => (ax + by + cz)² = 0 <=> a²x² + b²y² + c²z² + 2(bcyz + acxz + abxy) = 0 

=> -2(bcyz + acxz + abxy) = a²x² + b²y² + c²z² (2)

Từ (1) và (2),ta có : B = ax²(b + c) + by²(a + c) + cz²(a + b) + a²x² + b²y² + c²z²

= ax²(a + b + c) + by²(a + b + c) + cz²(a + b + c) = (a + b + c)(ax² + by² + cz²)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{a+b+c}=2017\)

P=2017

1/ Tìm Max. Ta có

\(\frac{M}{2}=\frac{15x}{2}+\frac{x\sqrt{17-x^2}}{2}\)

\(=-\left(\frac{x^2}{16}-\frac{2x\sqrt{17-x^2}}{4}+17-x^2\right)-15\left(\frac{x^2}{16}-\frac{2x}{4}+1\right)+32\)

\(=-\left(\frac{x}{4}-\sqrt{17-x^2}\right)^2-15\left(\frac{x}{4}-1\right)^2+32\le32\)

\(\Rightarrow M\le64\)

\(\Rightarrow\)GTLN là M = 64 đạt được khi x = 4

Tìm Min. Ta có

\(\frac{M}{2}=\frac{15x}{2}+\frac{x\sqrt{17-x^2}}{2}\)

\(=\left(\frac{x^2}{16}+\frac{2x\sqrt{17-x^2}}{4}+17-x^2\right)+15\left(\frac{x}{16}+\frac{2x}{4}+1\right)-32\)

\(=\left(\frac{x}{4}+\sqrt{17-x^2}\right)^2+15\left(\frac{x}{4}+1\right)^2-32\ge-32\)

\(\Rightarrow M\ge-64\)

Vậy GTNN là M = - 64 đạt được khi x = - 4

x = 8 đó mình chỉ đoán thôi 

Đặt \(ax^4=by^4=cz^4=t\)\(\Rightarrow a=\frac{t}{x^4};b=\frac{t}{y^4};c=\frac{t}{z^4}\)

Ta có: \(VT=\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt{\frac{t}{x^2}+\frac{t}{y^2}+\frac{t}{z^2}}\)

\(=\sqrt{t\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}=\sqrt{t}\left(1\right)\)

\(VP=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{\frac{t}{x^4}+}\sqrt{\frac{t}{y^4}}+\sqrt{\frac{t}{z^4}}\)

\(=\frac{\sqrt{t}}{x^2}+\frac{\sqrt{t}}{y^2}+\frac{\sqrt{t}}{z^2}=\sqrt{t}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)=\sqrt{t}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Đúng rồi đấy!

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+4xy=6\left(1\right)\\4x^2+16=6y+14x\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) + (2) vế theo vế rồi chuyển tất cả sang vế trái ta được

5x² + y² + 4xy + 10 - 6y -14x = 0

<=> (4x² + 4xy + y²) - 6(2x + y) + 9 + (x² - 2x + 1) = 0

<=> (2x + y)² - 6(2x + y) + 9 + (x - 1)² = 0

<=> ( 2x + y - 3)² + (x - 1)² = 0

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+y-3=0\\x-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

Khó lắm đó bạn !!!

Gọi số lớn là x, số nhỏ là y \(\left(x,y\inℕ^∗\right);x,y>124\)

Tổng hai số bằng 1006 nên ta có: x + y = 1006

Số lớn chia số nhỏ được thương là 2, số dư là 124 nên ta có: x = 2y + 124.

Ta có hệ phương trình :

\(\hept{\begin{cases}x+y=1006\\x=2y+124\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1006\\x-2y=124\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-\left(x-2y\right)=882\\x+y=1006\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y=882\\x+y=1006\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=294\\x=712\end{cases}}\)

Vậy hai số tự nhiên phải tìm là 712 và 294

Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng vào phương trình thứ nhất, ta được:

x⁴ - 8x³ +24x² - 32x + 16 = y⁴ - 16y³ +96y² - 256y + 256

<=> (x - 2)⁴ = (y - 2)⁴

<=>\(\orbr{\begin{cases}x-2=y-4\\x-2=4-y\end{cases}}\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}x=y-2\\x=6-y\end{cases}}\)

Với x = y - 2, thay vào phương trình 1 ta được:

-8y³ + 24y² - 32y + 16 = 240

<=> y³ - 3y² + 4y + 28 = 0

<=> (y + 2)(y² - 5y + 14 ) = 0

<=> y = -2 ; x = -4

Với x = 6 - y, thay vào phương trình 1 ta được:

-24y³ + 216y² - 864y + 1296 = 240

<=> y³ - 9y² + 36y - 44 = 0

<=> (y - 2)(y² - 7y + 22 ) = 0

<=> y = 2 ; x = 4

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm trên.

Thấy giống AILABA quá

\(dk:-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\)(*)

\(\left(A-3x\right)=\sqrt{2-x^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2-6ax+9x^2=2-x^2\)

\(10x^2-6ax+a^2-2=0\)(**)

Giá trị (a)  (**) có nghiệm thỏa mãn (*)  

(**)\(\Leftrightarrow\left(x^2-2.\frac{3a}{10}x+\frac{9a^2}{100}\right)=\frac{20-a^2}{100}\)\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{3a}{10}\right)^2=\frac{20-a^2}{100}\Rightarrow20-a^2\ge0\Rightarrow!a!\le2\sqrt{5}\)

\(a=2\sqrt{5}\Rightarrow x=\frac{6\sqrt{5}}{10}=\frac{3\sqrt{5}}{5}< \sqrt{2}\)(nhạn)

Kết luận: GTLN của A là \(A_{max}=2\sqrt{5}\) tại  \(x=\frac{3\sqrt{5}}{5}\)

\(A=3x+\sqrt{2-x^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{10}A}{2}=\frac{3\sqrt{10}x}{2}+\frac{\sqrt{10}\sqrt{2-x^2}}{2}\)

\(\le\sqrt{\left(\frac{45}{2}+\frac{5}{2}\right)\left(x^2+2-x^2\right)}=\sqrt{25.2}=5\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow1A\le\frac{5\sqrt{2}.2}{\sqrt{10}}=2\sqrt{5}\)

Vậy GTLN là A = \(2\sqrt{5}\)khi x = \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)  

\(\frac{5\left(a-b\sqrt{2}\right)-4\left(a+b\sqrt{2}\right)}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=3\)

\(\left(a-9b\sqrt{2}\right)+\left(a^2-2b^2\right)18\sqrt{2}=3\left(a^2-2b\right)\)

\(\sqrt{2}\left[18\left(a^2-2b^2\right)-9b\right]+a=3\left(a^2-2b\right)\)

\(\sqrt{2}\)là số vô tỷ=> \(\hept{\begin{cases}2a^2-4b^2-b=0\\3a^2-6b-a=0\end{cases}\Leftrightarrow}\) (giải hệ này ra a,b)

Bài 2. a/ \(1\le a,b,c\le3\)  \(\Rightarrow\left(a-1\right).\left(a-3\right)\le0\) , \(\left(b-1\right)\left(b-3\right)\le0\), \(\left(c-1\right).\left(c-3\right)\le0\)

Cộng theo vế : \(a^2+b^2+c^2\le4a+4b+4c-9\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{a^2+b^2+c^2+9}{4}=7\)

Vậy min E = 7 tại chẳng hạn, x = y = 3, z = 1

b/ Ta có : \(x+2y+z=\left(x+y\right)+\left(y+z\right)\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\) 

Tương tự : \(y+2z+x\ge2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) , \(z+2y+x\ge2\sqrt{\left(z+y\right)\left(y+x\right)}\)

Nhân theo vế : \(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) hay

\(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge64\)

chẵng biết

bài 1

ÁP dụng AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)

tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)

công tất cả lại ta có:

\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)

\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)

Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":

\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)

Vậy Min là \(1\)

dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)