Bài học cùng chủ đề
Xác suất của biến cố SVIP
1. KẾT QUẢ ĐỒNG KHẢ NĂNG
Trong một phép thử ngẫu nhiên, hai kết quả được gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xảy ra như nhau.
Chú ý:
⚡Trong phép thử tung đồng xu (hoặc gieo xúc xắc), nếu có giả thiết đồng, xúc xắc là cân đối và đồng chất thì các mặt của đồng xu hay xúc xắc có cùng khả năng xuất hiện.
⚡Trong phép thử lấy vật (quả bóng, viên bi, ...) nếu có giả thiết các vật có cùng kích thước và khối lượng thì mỗi vật đều có đồng khả năng lựa chọn.
Ví dụ 1. Kết quả của mỗi phép thử sau có đồng khả năng không? Tại sao?
a) Tung hai đồng xu cân đối và đồng chất.
b) Gieo con xúc xắc có các mặt không bằng nhau.
c) Chọn ngẫu nhiên lần lượt $2$ quả bóng bàn từ một hộp chứa $7$ quả bóng bàn có cùng kích thước và khối lượng.
Lời giải
a) Do hai đồng xu cân đối và đồng chất nên các mặt đều có cùng khả năng xuất hiện. Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
b) Do con xúc xắc không cân đối nên khả năng xuất hiện của các mặt không như nhau. Các kết quả của phép thử không đồng khả năng.
c) Do các quả bóng bàn có cùng kích thước và khối lượng nên có cùng khả năng được chọn. Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP THỬ
Giả sử rằng các kết quả có thể của phép thử $T$ là đồng khả năng. Khi đó xác suất $P(E)$ của biến cố $E$ bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ và số phần tử của tập $\Omega$:
$P(E)=\dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$,
trong đó $\Omega$ là không gian mẫu của $T$, $n(E)$ là số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ và $n(\Omega)$ là số phần tử của $\Omega$.
Cách tính xác suất của một biến cố
Việc tính xác suất của một biến cố $E$ gồm các bước sau:
Bước 1. Mô tả không gian mẫu của phép thử. Từ đó xác định số phần tử của không gian mẫu $\Omega$.
Bước 2. Chứng tỏ các kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng.
Bước 3. Mô tả các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$. Từ đó xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$.
Bước 4. Lập tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ với số phần tử của không gian mẫu $\Omega$.
Ví dụ 2. Một hộp đựng $20$ tấm thẻ như nhau được đánh số từ $1$ đến $20$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố $A$: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của $4$”.
Lời giải
Xét phép thử "Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp đựng $20$ tấm thẻ như nhau được đánh số từ $1$ đến $20$".
Không gian mẫu là: $\Omega =\{ 1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9;\,10;\,11;\,12;\,13;\,14;\,15;\,16;\,17;\,18;\,19;\,20 \}$
Suy ra $n(\Omega )=20$
Do các tấm thẻ là như nhau và được rút ngẫu nhiên nên các kết quả trên là đồng khả năng.
Kết quả thuận lợi của biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là bội của $4$” là: $\{ 4;\,8;\,12;\,16;\,20\}$.
Suy ra $n(A )=5$
Xác suất của biến cố $A$ là : $P(A )=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$.
Ví dụ 3. Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt $A, \,B, \,C,\, D,\, E$, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Hai điểm $A,\, B$ được tô màu đỏ; ba điểm $C, \,D, \,E$ được tô màu xanh. Bạn Châu chọn ra ngẫu nhiên một điểm tô màu đỏ, sau đó chọn ngẫu nhiên một điểm tô màu xanh để nối thành một đoạn thẳng. Tính xác suất của biến cố $X$: "Trong hai điểm được chọn ra có điểm $A$".
Lời giải
Không gian mẫu của phép thử là:
$\Omega =\{ AC;\,AD;\,AE;\,BC;\,BD;\,BE \}$.
Không gian mẫu có $6$ phần tử.
Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
Có $3$ kết quả thuận lợi cho bi ến cố $X$ là $AC; \, AD; \, AE$.
Xác suất của biến cố $X$ là $P(X )=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.