Tỉ số lượng giác của góc nhọn SVIP

1. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn

a. Khái niệm

Cho góc nhọn $\alpha$.  Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = \alpha$.

⚡Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc $\alpha$, kí hiệu $\sin \alpha$.

$\sin \alpha$ = cạnh đối : cạnh huyền

⚡Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc $\alpha$, kí hiệu $\cos \alpha$.

$\cos \alpha$ = cạnh kề : cạnh huyền

⚡Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc $\alpha$, kí hiệu $\tan \alpha$.

$\tan \alpha$ = cạnh đối : cạnh kề

⚡Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc $\alpha$, kí hiệu $\cot \alpha$.

$\cot \alpha$ = cạnh kề : cạnh đối

Ví dụ 1. Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$ trong tam giác $ABC$.

Lời giải

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^\circ$ và $B$ là góc nhọn.

$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac9{15} = 0,6$;

$\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{12}{15} = 0,8$;

$\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac9{12} = 0,75$;

$\cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac43$.

b. Lưu ý

+ Khi không sợ nhầm lẫn, ta có thể viết $\sin B$, $\cos B$, $\tan B$, $\cot B$ lần lượt thay cho các kí hiệu $\sin \widehat{B}$, $\cos \widehat{B}$, $\tan \widehat{B}$, $\cot \widehat{B}$.

+ Các tỉ số lượng giác của góc nhọn $a$ luôn dương, $\sin a < 1$; $\cos a < 1$ và $\cot a = \dfrac1{\tan a}$.

c) Tỉ số lượng giác của góc nhọn đặc biệt

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{\sin 30^\circ . \cos 60^\circ}{\tan 45^\circ}$.

Lời giải

$P = \dfrac{\sin 30^\circ . \cos 60^\circ}{\tan 45^\circ} = \dfrac{\dfrac12 . \dfrac12}1 = \dfrac14.$

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Với $0^\circ < a < 90^\circ$ ta có:

⚡$\sin (90^\circ - a) = \cos a$;                    ⚡$\cos (90^\circ - a) = \sin a$;

⚡$\tan (90^\circ - a) = \cot a$;                    ⚡$\cot (90^\circ - a) = \tan a$;

Ví dụ 3. Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn $45^\circ$.

a) $\sin 60^\circ$;

b) $\cot 82^\circ$.

Lời giải

a) $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ$;

b) $\cot 82^\circ = \tan 8^\circ$.