Bài học cùng chủ đề
- Ôn lại các phép biến đổi căn thức đã học
- Bài tập: Rút gọn biểu thức chứa căn (Phần 1)
- Bài tập: Rút gọn biểu thức chứa căn (Phần 2)
- Một số bài toán trong đề thi vào lớp 10 (Phần 1)
- Một số bài toán trong đề thi vào lớp 10 (Phần 2)
- Rút gọn biểu thức chứa số (Cơ bản)
- Rút gọn biểu thức chứa số (Nâng cao)
- Rút gọn biểu thức chứa biến và các bài toán liên quan
- Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai SVIP
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - THPT chuyên - Hà Giang)
Cho biểu thức \(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\)
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm a để \(P>\dfrac{1}{6}.\)
Hướng dẫn giải:
a) \(P=\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\).
b) Để \(P>\dfrac{1}{6}\) thì \(\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}>\dfrac{1}{6}\).
Vì \(\sqrt{a}>0\) thỏa mãn điều kiện xác định nên để \(\dfrac{\sqrt{a}-4}{6\sqrt{a}}>0\) thì \(\sqrt{a}-4>0.\)
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - Thanh Hóa)
Cho biểu thức \(A=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{4-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\) với \(x>0,x\ne4,x\ne9\).
a) Rút gọn biểu thức $A$.
b) Tìm $x$ để $A = - 2$.
Hướng dẫn giải:
a) \(A=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\).
b) Để $A = - 2$ thì
\(\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}=-2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}+2=0\Leftrightarrow\dfrac{4x+2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-3}=0\)
Đáp số: $x = 1$.
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - THPT chuyên - Bắc Ninh)
Cho các biểu thức \(P=\dfrac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\) và \(Q=\dfrac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}\) với \(x\ge0,x\ne4\).
a) Rút gọn biểu thức $P$ và $Q$.
b) Tìm tất các các giá trị của $x$ để P = Q.
Hướng dẫn giải:
a)
+) \(P=\dfrac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\)
\(=\dfrac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}\)
\(=2\sqrt{x}+1\).
+) \(Q=\dfrac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+2}\)
\(=x-1\).
b) Để $P = Q$ thì \(2\sqrt{x}+1=x-1\)
Coi phương trình là phương trình bậc 2 của $\sqrt{x}$, chú ý chọn nghiệm dương của phương trình.
Đáp số: \(x=4+2\sqrt{3}\) thì $P = Q$.
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - Lạng Sơn)
Cho biểu thức \(P=\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-5}{x-1}\) với \(x\ge0,\text{ }x\ne1\).
a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Tính giá trị biểu thức $P$ khi \(x=24-16\sqrt{2}\).
Hướng dẫn giải:
a) \(P=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\).
b) Chú ý \(\sqrt{x}=\sqrt{\left(4-2\sqrt{2}\right)^2}=4-2\sqrt{2}\).
Vậy \(P=\dfrac{1}{4-2\sqrt{2}-1}=\dfrac{1}{3-2\sqrt{2}}=\dfrac{3^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2}{3-2\sqrt{2}}=3+2\sqrt{2}\).
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - Bình Định)
Cho biểu thức \(A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\) và \(B=\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{4\sqrt{x}}{x-4}\).
a) Tính $A$ khi $x = 9$.
b) Thu gọn $T = A - B$.
c) Tìm $x$ nguyên để $T$ nguyên.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: $x\ne 4,$ $x\ge 0$.
b) \(T=A-B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4\sqrt{x}}{x-4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\).
c) Chú ý rằng:\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}+2-4}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}=1-\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}\)
Vậy để $T$ nguyên thì \(\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}\in\mathbb{Z}.\)
Đáp số: $x=0$.
Cho hai biểu thức \(P=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-2}\) và \(Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{x-4}\) với \(x\ge0,\text{ }x\ne4\).
a) Tính giá trị của $P$ khi $x = 9$.
b) Rút gọn biểu thức $Q$.
c) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức \(\dfrac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
b) \(Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{x-4}\)
Rút gọn được $Q = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$.
c) Ta có \(\dfrac{P}{Q}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-2}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{P}{Q}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}\ge2.\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}.3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}\).
Vậy $\min \frac{P}{Q}=2\sqrt{3}$, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=3$.
Cho biểu thức \(P=\left(\dfrac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) với \(x>0,x\ne1\)
a) Chứng minh \(P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
b) Tìm $x$ để \(2P=2\sqrt{x}+5\).
Hướng dẫn giải:
b) \(2P=2\sqrt{x}+5\Leftrightarrow\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+5\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}+1\right)=2x+5\sqrt{x}\Rightarrow2x+3\sqrt{x}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)=0\)
Đáp số: $x= \dfrac 14$.
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - chuyên Hưng Yên)
Cho biểu thức \(P=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\) với \(x\ge0,\text{ }x\ne1\).
a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Tìm giá trị của $x$ để \(P=\dfrac{3}{4}\)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(\sqrt{x}-4\right)\left(x-1\right)P\).
Hướng dẫn giải:
a) Đáp số \(P=\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}\).
b) Để \(P=\dfrac{3}{4}\) thì $\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow 8\sqrt{x}=3x-3\Rightarrow 3x-8\sqrt{x}-3=0$.
Đáp số: $x=9$.
c) \(A=\left(\sqrt{x}-4\right)\left(x-1\right)P=\left(\sqrt{x}-4\right)\left(x-1\right).\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}\)
\(=2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)=2x-8\sqrt{x}\).
Đáp số: \(\min A=-8\Leftrightarrow x=4\).
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - chuyên Thái Bình)
Cho biểu thức
\(A=\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3\sqrt{x}+5}{x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}+1}\right)\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{4\sqrt{x}}-1\right]\) với \(x>0,\text{ }x\ne1\).
a) Rút gọn $A$.
b) Cho \(B=\left(x-\sqrt{x}+1\right).A\) . Chứng minh rằng \(B>1.\)
Hướng dẫn giải:
a) \(A=\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3\sqrt{x}+5}{x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}+1}\right)\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{4\sqrt{x}}-1\right]\)
\(=\left[\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-1\right)}\right].\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2-4\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{4\sqrt{x}+4}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{4\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\).
b) Ta có
\(B=\left(x-\sqrt{x}+1\right).A=\left(x-\sqrt{x}+1\right).\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có $B\ge 1$, đẳng thức xảy ra khi $x=1$.
Tuy nhiên, theo điều kiện \(x\ne1\) nên $B>1$.
Vậy \(B>1\text{ }\forall x>0,x\ne1\).