Kiến thức nền tảng: Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình SVIP

A. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

1. Phương trình tích

Để giải phương trình tích $(ax + b)(cx + d) = 0$ với $a \ne 0$ và $c \ne 0$, ta làm như sau:

🔹Giải hai phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ và $cx + d = 0$;

🔹Lấy tất cả các nghiệm vừa giải ở bước trên và kết luận.

Ví dụ 1. Giải phương trình $(x + 5)(2x - 8) = 0$.

Lời giải

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

$x + 5 = 0$ hay $x = -5$;

$2x - 8 = 0$ hay $x = 4$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = -5$ và $x = 4.$

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác $0$ được gọi là điều kiện xác định của phương trình.

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta làm như sau:

🔹Tìm điều kiện xác định của phương trình;

🔹Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu;

🔹Giải phương trình vừa tìm được;

🔹Kết luận nghiệm: trong các giá trị của ẩn tìm được ở trên, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 2. Giải phương trình: $\dfrac2{x+1} + \dfrac1{x-2} = \dfrac3{(x-2)(x+1)}$.

Lời giải

Điều kiện xác định $x \ne -1$ và $x \ne 2$.

$\dfrac2{x+1} + \dfrac1{x-2} = \dfrac3{(x-2)(x+1)}$

$\dfrac{2(x-2)+(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \dfrac3{(x-2)(x+1)}$

$2(x-2) + (x+1) = 3$

$2x - 4 + x + 1 = 3$

$3x = 6$

$x=2$ (không thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai một ẩn: $ax^2 + bx + c = 0$, ($a \ne 0$). Tính biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$.

Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$; $x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac b{2a}$.

Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

4. Định lí Viète

Định lí: Nếu ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0, \, (a\ne 0)$ thì: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{b}{a}$ và ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}$

Nhận xét: Xét phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0,\,\left( a\ne 0 \right)$

+ Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là ${{x}_{1}}=1$, nghiệm còn lại là ${{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}$

+ Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là ${{x}_{1}}=-1$, nghiệm còn lại là ${{x}_{2}}=-\dfrac{c}{a}$

B. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1. Phương pháp thế

Bước 1. Thế

Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn

Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó.

Bước 3. Tìm ẩn còn lại, kết luận

Thế giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đā cho.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&12x - 4y = -16 \, \, \, (1) \\& 3x - y = -4 \, \, \, (2)\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải

Từ phương trình $(2)$ ta có: $y = 3x + 4$

Thay vào phương trình $(1)$, ta được: $12x - 4(3x + 4) = -16$

$12x - 12x - 16 = -16$

$0x = 0$ $(3)$

Do đó, phương trình $(3)$ có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

2. Phương pháp cộng đại số

Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&3x + 2y = 4 \, \, \, (1)\\ &-2x + 3y = -7 \, \, \, (2)\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải

Nhân hai vế của phương trình $(1)$ với $2$ và nhân hai vế của phương trình $(2)$ với $3$, ta được hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{aligned}&6x + 4y = 8 \, \, \, (3)\\& -6x + 9y = -21 \, \, \, (4)\\ \end{aligned}\right.$.

Cộng từng vế hai phương trình $(3)$ và $(4)$, ta được phương trình:

$13y = -13$

Giải phương trình $13y = -13$, ta có: $y = -1$.

Thế giá trị $y = -1$ vào phương trình $(1)$, ta được phương trình:

$3x + 2 . (-1) = 4$

$3x - 2 = 4$

$x = 2$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x ; y) = (2 ; -1).$

C. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bất phương trình $ax + b > 0$ được giải như sau:

⚡Với $a > 0$

$ax + b > 0$

$ax > -b$

$x > -\dfrac ba$

Nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > -\dfrac ba$.

⚡Với $a < 0$

$ax + b > 0$

$ax > -b$

$x < -\dfrac ba$

Nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < -\dfrac ba$.

Ví dụ 5. Giải bất phương trình $-2x - 4 > 0$.

Lời giải

Ta có $-2x - 4 > 0$

$-2x > 0 + 4$ $\longrightarrow$ Cộng hai vế với $4$

$-2x > 4$

$x < 4.\Big(-\dfrac12\Big)$ $\longrightarrow$ Nhân hai vế với số âm và đổi chiều BĐT

$x < -2$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < -2$.