Phần tự luận (7 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

Gọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là $x$ (km/h) ($x>6$ ).

Tốc độ ca nô đi xuôi dòng là $x+6$ (km/h)

Ta có $x\le 40$ nên $x+6\le 40+6$, tức là $x+6\le 46$

Gọi $s$ (km) là quãng đường ca nô đi được trong $2$ giờ $30$ phút $=2,5$ giờ

Ta có $s=2,5.(x+6)$ (km).

Do $x+6\le 46$ nên $2,5.(x+6)<2,5.46$ hay $s\le 115$

Vậy quãng đường ca nô đi được trong $2$ giờ $30$ phút không vượt quá $115$ km.

Hướng dẫn giải:

 a) Ta có $(2x+1)^2-9x^2=0$

$(2x+1-3x)(2x+1+3x)=0$

$(-x+1)(5x+1)=0$

+ Giải phương trình $-x+1=0$

$x=1$

+ Giải phương trình $5x+1=0$

$x=\dfrac{-1}{5}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=1$ và $x=\dfrac{-1}{5}$.

b) Ta có: $\left\{ \begin{aligned} & 5x-4y=3 \\ & 2x+y=4 \\ \end{aligned} \right.$

$ \left\{ \begin{aligned} & 5x-4y=3 \\ & 8x+4y=16 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} & 13x=19 \\ & 2x+y=4 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{19}{13} \\ & y=\dfrac{14}{13} \\ \end{aligned} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) =  \Big( \dfrac{19}{13};\dfrac{14}{13} \Big) $.

Hướng dẫn giải:

Gọi $x,\,y$(đồng) lần lượt là giá niêm yết của mỗi mặt hàng $A$ và $B$ $(x>0,\,y>0)$

Một khách hàng mua hai món hàng $A$ và một món hàng $B$ thì phải trả số tiền là $362 \, 000$ đồng nên ta có:

$80\%x\,.\,2+85\%y=362\,000$ hay $1,6x+0,85y=362\,000$ (1)

Trong khung giờ vàng khách hàng mua ba món hàng $A$ và hai món hàng $B$ trong khung giờ vàng nên phải trả số tiền là $552\,000$ đồng nên ta có:

$70\%x\,.\,3+75\%y.2=552\,000$ hay $2,1x+1,5y=552 \, 000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned} & 1,6x+0,85y=362\,000 \\ & 2,1x+1,5y=552\,000 \\ \end{aligned} \right.$

Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{aligned} & x=120\,000 \\ & y=200\,000 \\ \end{aligned} \right.$

Vậy giá niêm yết của mặt hàng $A$ là $120\,000$ đồng, mặt hàng $B$ là $200\,000$ đồng.

Hướng dẫn giải:

a) $\Delta BKC \backsim \Delta DHC$ (g. g)

Vì $\widehat{K}=\widehat{H}= 90^\circ$ 

$\widehat{D}=\widehat{B}$ (cùng bằng $\widehat{A}$)

$\dfrac{KC}{HC}=\dfrac{BC}{DC}$ hay $\dfrac{KC}{HC}=\dfrac{BC}{AB}$ (*)

Xét tứ giác $AKCH$ có: $\widehat{A}+\widehat{HCK}=180^\circ$;

$\widehat{A}+\widehat{ABC}=180^\circ$

Suy ra: $\widehat{ABC}=\widehat{HCK}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $\Delta CKH \backsim \Delta BCA$ (c-g-c)

b) $\Delta CKH \backsim \Delta BCA$ suy ra $\dfrac{HK}{AC}=\dfrac{CK}{BC}$

$HK=AC.\dfrac{CK}{BC}=AC.\sin \widehat{KBC}$ mà $\widehat{BAD}=\widehat{KBC}$ (cặp góc đồng vị) nên $HK=AC.\sin \widehat{BAD}$.

Hướng dẫn giải:

Nối $B$ và $C$. Kẻ $CH \perp AB$ ($H \in AB$).

Sau $1,5$ giờ tàu $B$ chạy được quãng đường là: $AB = 20.1,5 = 30$ (hải lí).

Sau $1,5$ giờ tàu $C$ chạy được quãng đường là: $AC = 15.1,5 = 22,5$ (hải lí).

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$CH = AC. \sin A = 22,5. \sin 60^\circ = \dfrac{45\sqrt{3}}{4}$ (hải lí).

$AH = AC.\cos A = 22,5.\cos 60^\circ = 11,25$ (hải lí).

Do đó $BH = AB - AH = 30 - 11,25 = 18,75$ (hải lí).

Mặt khác, tam giác $CHB$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{(18,75)^2+\Big(\dfrac{45\sqrt{3}}4\Big)^2}\approx 27,04$ (hải lí).

Vậy sau $1,5$ giờ tàu $B$ cách tàu $C$ là $27,04$ hải lí.