Phần tự luận (3 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

Sau khi cắt miếng giấy hình vuông như trên, ta xếp lại được hình chóp tứ giác đều $S.MNPQ$

Ta có $OM=x\Rightarrow MP=NQ=2x$ (cm)

Mà $NQ=MN\sqrt{2}\Rightarrow MN=\sqrt{2}x$ (cm)

Gọi $H$ là trung điểm $PQ$

$OH=\dfrac{NP}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$ (cm)

Từ hình vẽ trên, ta có: $SH=SO-OH=10\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}x}{2}$ (cm)

SO lúc này là một nửa hình đường chéo hình vuông cạnh $20$ cm

Suy ra, chiều cao hình chóp là:

$SO_{h}=\sqrt{SH^2-OH^2}=\sqrt{20(10-x)}$ (cm)

Thể tích khối chóp $S.MNPQ$ là:

$V=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{MNPQ}}$

$V=\dfrac{1}{3}\sqrt{20(10-x)}.(\sqrt{2}x)^2$

$V=\dfrac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{(40-4x).4x^4}$

$V=\dfrac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{(40-4x).x.x.x.x}\le \dfrac{\sqrt{20}}{3}.\sqrt{{{\Bigg(\dfrac{40-4x+x+x+x+x}{5} \Bigg)}^{5}}}$

$=\dfrac{256\sqrt{10}}{3}$ (cm³)

Dấu “$=$” xảy ra khi $40-4x=x\Leftrightarrow x=8$ (cm).

Hướng dẫn giải:

Số tiền chị Thơm nợ sau một tháng là $400+400.0,5\%=400(1+0,5\%)$ (triệu đồng).

Sau 1 tháng thì số tiền chị Thơm phải trả là $400(1+0,5\%)-15$ (triệu đồng).

Sau 2 tháng thì số tiền chị Thơm phải trả là:

$400(1+0,5\%)-15+[400(1+0,5\%)-15].0,5\%-15$

$=400(1+0,5\%)^2-15[(1+0,5\%)+1]$ (triệu đồng).

Sau 12 tháng thì số tiền chị Thơm phải trà là

$A=400(1+0,5\%)^{12}-15\left[(1+0,5\%)^{11}+(1+0,5\%)^{10}+\ldots +(1+0,5\%)+1 \right]$

$=400(1+0,5\%)^{12}-15\dfrac{(1+0,5\%)^{12}-1}{(1+0,5\%)-1}$

$=400(1+0,5\%)^{12}-\dfrac{15}{0,5\%}\left[(1+0,5\%)^{12}-1 \right]$

$=239,637$ (triệu đồng).

Gọi $n$ là số tháng tiếp theo mà chị Thơm cần đề trả hết nợ, tương tự như trên ta được

$A(1+1\%)^{n}-\dfrac{15[(1+1\%)^{n}-1]}{1\%}=0$

$\Leftrightarrow n=\log _{1+1\%}\dfrac{-15}{A.1\%-15}\approx 17.49$.

Tức là chị Thơm cần thêm $18$ tháng để trả hết nợ.

Vậy chị Thơm cần $12+18=30$ tháng để trả hết nợ ngân hàng kể từ khi vay.

Hướng dẫn giải:

Gọi $G$ là trọng tâm $ABC$ thì $BC\bot \left(SAG \right)\Rightarrow BC\bot GH$. $\left(1 \right)$

Gọi $P,M$ là giao điểm của $\left(CGH \right)$ và $AB,SB$.

Khi đó $CP\bot \left(SAB \right)\Rightarrow CP\bot SB$.

Kết hợp với $SB\bot CM$, suy ra $SB\bot \left(CGH \right)$, dẫn đến $SB\bot GH$. $\left(2 \right)$

Từ $\left(1 \right)$ và $\left(2 \right)$ ta được $GH\bot \left(SBC \right)$, nên $GH\bot HN$.

Suy ra $H$ thuộc đường tròn đường kính $GN=\dfrac{1}{3}.\dfrac{12. \sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.

Vậy $H$ thuộc đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{3}$.