Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d: \, \left\{ \begin{aligned}& x=-1+t \\& y=2-3t \\& z=t \\ \end{aligned} \right.$ với $t \in \mathbb{R}$ và điểm $A(2;3;1)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha): \, \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{-1}=1$ có một vectơ pháp tuyến là

Trong không gian $Oxyz$, cho $d$ vuông góc với $2$ đường thẳng $d_1:\,\left\{ \begin{aligned}& x=2-3t \\& y=3+t \\& z=-1+2t \end{aligned} \right.$ và ${d_2}\,:\,\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z+3}{3}$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là

Trong không gian $$Oxyz$$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-3;0 \right)$ và bán kính bằng $2$. Phương trình của $\left( S \right)$ là

Trong hệ toạ độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1$ có tâm là điểm nào dưới đây?

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;\,-1;\,-1)$, $B(1;\,0;\,4)$, $C(0;\,-2;\,-1)$. Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ là

Trong không gian $Oxyz$, hai mặt phẳng $(P)$: $x+2y-2z+3=0$ và $(Q)$: $-x-2y+2z-12=0$ lần lượt chứa hai mặt bên của một hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+2}{4}$ và đường thẳng ${d}':\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-m}{m^2}$. Số giá trị của tham số $m$ để hai đường thẳng $d,\,d'$ song song với nhau là

Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình sau:

$x^2 + y^2 + z^2+4x-6z+12=0$

Trong không gian $$Oxyz$$, mặt cầu $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ có bán kính bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $M(2;0;-1)$, $N(1;-1;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):\,3x+2y-z+5=0$.

Trong hệ trục tọa độ cho các điểm $M(0;\,2;\,0 ),\,N(0;\,0;\,-1 ),\,P(-1;\,0;\,3 )$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(-1; 2; 5)$. Biết trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $4$ km.