Cho hai điểm $M(1;2;-4)$ và ${M}'(5;4;2)$ biết ${M}'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(\alpha)$. Khi đó mặt phẳng $(\alpha)$ có một vectơ pháp tuyến là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):\,2x-y+3=0$. Vectơ nào sau đây không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;2;1 ).$ Gọi $\alpha$ là góc giữa $d$ và trục $Ox$. Tính $\cos \alpha.$

Trong không gian $Oxyz$, cho $d$ vuông góc với $2$ đường thẳng $d_1:\,\left\{ \begin{aligned}& x=2-3t \\& y=3+t \\& z=-1+2t \end{aligned} \right.$ và ${d_2}\,:\,\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z+3}{3}$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là

Trong không gian $$Oxyz$$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-3;0 \right)$ và bán kính bằng $2$. Phương trình của $\left( S \right)$ là

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng$(P)$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{matrix}x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\y=1-2t \\z=1+t\,\,\,\\ \end{matrix} \right.$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-1}{2}$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): \, 3x+(m-1 )y+4z-2=0$, $(\beta): \, nx+(m+2 )y+2z+4=0$. Với giá trị thực của $m,\,n$ bằng bao nhiêu thì $(\alpha)$ song song $(\beta)$?

Khi gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị mỗi trục tính theo km) vào mỗi sân bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí $A\Big(7;-4;\dfrac{4}{5} \Big)$ sẽ hạ cánh ở vị trí $B(7;11;0 )$ trên đường băng. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng $AB$) và sân bay (một phần của mặt phẳng $(Oxy )$) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(-4;-3;3 \right)$ và mặt phẳng $\left(P \right):x+y+z=0$. Đường thẳng đi qua $A$, cắt trục $Oz$ và song song với $\left(P \right)$ có phương trình là

Phương trình mặt cầu có tâm $A(1;1;3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $xOy$ là:

Trong không gian $$Oxyz$$, cho mặt cầu có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x+4y-6z+9=0$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(2;6;-3 )$ và các mặt phẳng $(\alpha): \, x-2=0$, $(\beta): \, y-6=0$, $(\gamma): \, z+3=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;3;-1),\,B(4;1;0),\,C(4;7;3)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A( 1;0;0 );\,B( 0;\sqrt{2};0 )$ và các đường thẳng $d_1:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{-\sqrt{2}}=\dfrac{z-2}{1}$ ,$d_2:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+3}{1}$, $\Delta :\left\{ \begin{aligned} & x=2+t \\ & y=1+\sqrt{2}t \\ & z=2+mt \end{aligned} \right.$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(-1; 2; 5)$. Biết trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $4$ km.