Ba đường coinc SVIP

1. ĐƯỜNG ELIP

Định nghĩa

Cho hai điểm \(F_1\), \(F_2\) cố định có khoảng cách  \(F_1F_2=2c\) (\(c>0\)). 

Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(MF_1+MF_2=2a\), trong đó \(a>c\). 

Hai điểm \(F_1\) và \(F_2\) được gọi là hai tiêu điểm của elip.

Phương trình chính tắc

Khi chọn hệ trục tọa độ như hình bên, phương trình chính tắc của đường elip \(\left(E\right)\) là: 

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) , trong đó \(a>b>0\).

\(F_1\left(-c;0\right)\), \(F_2\left(c;0\right)\) là hai tiêu điểm, \(c^2=a^2-b^2\). 

Ví dụ: Cho elip \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1\). 

a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm, tiêu cự của \(\left(E\right)\).

b) Cho điểm \(M\) bất kì thuộc \(\left(E\right)\). Tính \(MF_1+MF_2\).

c) Cho điểm \(M\) thuộc \(\left(E\right)\) sao cho \(M\) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Tính đoạn \(OM\), trong đó \(O\) là gốc tọa độ, từ đó hãy tìm tọa độ điểm \(M\).

Giải

a) Trong phương trình chính tắc của \(\left(E\right)\) ta có

\(a^2=169,b^2=25\Rightarrow a=13,b=5,c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{169-25}=12\).

Vậy \(\left(E\right)\) có hai tiêu điểm là \(F_1\left(-c;0\right)=\left(-12;0\right)\), \(F_2\left(c;0\right)=\left(12;0\right)\), có tiêu cự là \(2c=2.12=24\). 

b) Vì điểm \(M\) thuộc \(\left(E\right)\) nên \(MF_1+MF_2=2a=2.13=26\).

c) Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\). Do \(M\) thuộc \(\left(E\right)\) nên ta có \(\dfrac{x_0^2}{169}+\dfrac{y_0^2}{25}=1\) (1).

Theo giả thiết ta có \(\widehat{F_1MF_2}=90^o\), mà \(O\) là trung điểm của \(F_1F_2\) nên ta có \(OM=\dfrac{F_1F_2}{2}=c=12\).

Suy ra \(x_0^2+y_0^2=12^2=144\Leftrightarrow y_0^2=144-x_0^2\). (2) 

Từ (1) và (2) ta suy ra

 \(\dfrac{x_0^2}{169}+\dfrac{144-x_0^2}{25}=1\Leftrightarrow x_0^2=\dfrac{20111}{144}\Leftrightarrow x_0=\pm\dfrac{13\sqrt{119}}{12}\).

Thay \(x_0\) vào (2) ta được 

 \(y_0^2=144-x_0^2=144-\dfrac{20111}{144}=\dfrac{625}{144}\Leftrightarrow y_0=\pm\dfrac{25}{12}\).

Vậy \(OM=12\) và có bốn điểm \(M\) thỏa mãn đề bài, các điểm này có tọa độ là

\(M_1\left(\dfrac{13\sqrt{119}}{12};\dfrac{25}{12}\right),M_2\left(\dfrac{13\sqrt{119}}{12};-\dfrac{25}{12}\right),M_3\left(-\dfrac{13\sqrt{119}}{12};\dfrac{25}{12}\right),M_4\left(-\dfrac{13\sqrt{119}}{12};-\dfrac{25}{12}\right)\).

Cách khác: Để tìm tọa độ điểm \(M\), ta có thể giải hệ \(\left\{{}\begin{matrix}M\in\left(E\right)\\\overrightarrow{MF_1}.\overrightarrow{MF_2}=0.\end{matrix}\right.\)

2. ĐƯỜNG HYPEBOL

Định nghĩa

Cho hai điểm \(F_1\), \(F_2\) cố định có khoảng cách \(F_1F_2=2c\) (\(c>0\)).

Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(\left|MF_1-MF_2\right|=2a\), trong đó \(c>a>0\).

Hai điểm \(F_1\) và \(F_2\) được gọi là hai tiêu điểm của hypebol.

Phương trình chính tắc

Khi chọn hệ trục tọa độ như hình bên, phương trình chính tắc của đường hypebol \(\left(H\right)\) là: 

\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\), trong đó \(a>0\), \(b>0\).

\(F_1\left(-c;0\right)\), \(F_2\left(c;0\right)\) là hai tiêu điểm, \(c^2=a^2+b^2\).

Ví dụ: Lập phương trình chính tắc của hypebol \(\left(H\right)\), biết rằng \(\left(H\right)\) có một tiêu điểm là \(F_1\left(-13;0\right)\) và đi qua điểm \(A\left(-5;0\right)\). Tìm điểm \(M\) thuộc \(\left(H\right)\) có hoành độ dương sao cho khoảng cách từ \(M\) đến gốc tọa độ là nhỏ nhất. 

Giải

Phương trình chính tắc của \(\left(H\right)\) có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\), trong đó \(a,b>0\).

Vì \(\left(H\right)\) đi qua điểm \(A\left(-5;0\right)\) nên \(\dfrac{\left(-5\right)^2}{a^2}-\dfrac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow a=5\).

Do \(\left(H\right)\) có một tiêu điểm là \(F_1\left(-13;0\right)\) nên ta có \(c=13\) suy ra \(b^2=c^2-a^2=13^2-5^2=144\).

Vậy phương trình chính tắc của \(\left(H\right)\) là \(\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{144}=1\).

 Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) với \(x_0>0\). 

Do \(M\in\left(H\right)\) nên ta có

\(\dfrac{x_0^2}{25}-\dfrac{y_0^2}{144}=1\Leftrightarrow x^2_0=25+\dfrac{25y_0^2}{144}\ge25\).

Suy ra \(x_0\ge5\). 

Từ đó suy ra \(OM=\sqrt{x_0^2+y_0^2}\ge\sqrt{x_0^2}=x_0\ge5\).

Dấu "\(=\)" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}y_0=0\\x_0=5\end{matrix}\right.\) do đó ta có \(M\left(5;0\right)\).

3. ĐƯỜNG PARABOL

Định nghĩa

Cho một điểm \(F\) cố định và một đường thẳng \(\Delta\) cố định không đi qua \(F\). 

Đường parabol (còn gọi là parabol) là tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng cách đều \(F\) và \(\Delta\).

Điểm \(F\) được gọi là tiêu điểm của parabol. Đường thẳng \(\Delta\) được gọi là đường chuẩn của parabol. 

Phương trình chính tắc

Khi chọn hệ trục tọa độ như hình bên, phương trình chính tắc của đường parabol \(\left(P\right)\) là: 

\(y^2=2px\) (\(p>0\)).

\(F\left(\dfrac{p}{2};0\right)\) là tiêu điểm, \(x+\dfrac{p}{2}=0\) là phương trình đường chuẩn \(\Delta\).

Ví dụ: Cho parabol \(\left(P\right)\) có phương trình ở dạng chính tắc và \(\left(P\right)\) đi qua điểm \(A\left(3;6\right)\). 

a) Viết phương trình của \(\left(P\right)\).

b) Tìm tọa độ tiêu điểm \(F\), phương trình đường chuẩn \(\Delta\) và tham số tiêu \(p\) của \(\left(P\right)\). 

c) Cho điểm \(M\) thuộc \(\left(P\right)\) và có hoành độ bằng \(4\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MF\).

Giải

a) Phương trình chính tắc của \(\left(P\right)\) có dạng \(y^2=2px\), trong đó \(p>0\).

Vì \(A\left(3;6\right)\) thuộc \(\left(P\right)\) nên ta có phương trình

\(6^2=2.p.3\Leftrightarrow p=6\).

Vậy phương trình chính tắc của \(\left(P\right)\) là \(y^2=12x\). 

b) \(\left(P\right)\) có tiêu điểm là \(F\left(\dfrac{p}{2};0\right)=\left(3;0\right)\), phương trình đường chuẩn \(\Delta\) là \(x+\dfrac{p}{2}=0\Leftrightarrow x+3=0\) và có tham số tiêu là \(p=6\).

c) Vì điểm \(M\) thuộc \(\left(P\right)\) nên ta có 

\(MF=d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{\left|4+3\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=7\).

.