Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn SVIP

1. PHƯƠNG PHÁP THẾ

Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế:

Bước 1. Thế

Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn

Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó.

Bước 3. Tìm ẩn còn lại, kết luận

Thế giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đā cho.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&2x-y=3 \, \, \, (1)\\ &x+2y=4 \, \, \, (2)\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải

Từ phương trình $(1)$ ta có $y = 2x - 3$

Thế vào phương trình $(2)$ ta được:

$x + 2(2x - 3) = 4$

$5x - 6 = 4$

$x = 2$

Thay trở lại $(1)$ ta có $y = 2.2 - 3 = 1.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(2 ; 1)$.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&3x + 12y = -5 \, \, \, (1) \\ &x + 4y = 3 \, \, \, (2)\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải

Từ phương trình $(2)$ ta có: $x = 3 - 4y$

Thay vào phương trình $(1)$, ta được: $3(3 - 4y) + 12y = -5$

$9 - 12y + 12y = -5$

$0y = -14$. $(3)$

Do đó, phương trình $(3)$ vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&12x – 4y = -16 \, \, \, (1) \\& 3x – y = -4 \, \, \, (2)\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải

Từ phương trình $(2)$ ta có: $y = 3x + 4$

Thay vào phương trình $(1)$, ta được: $12x - 4(3x + 4) = -16$

$12x - 12x - 16 = -16$

$0x = 0$ $(3)$

Do đó, phương trình $(3)$ có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Chú ý

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

2. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&-2x + 5y = 12 \\ &2x + 3y = 4\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải

Cộng từng vế hai phương trình ta được $8y = 16$, suy ra $y = 2$.

Thế $y = 2$ vào phương trình thứ hai ta được $2x + 3 . 2 = 4$

hay $2x = -2$, suy ra $x = -1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(-1 ; 2)$.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&3x + 2y = 4 \, \, \, (1)\\ &-2x + 3y = -7 \, \, \, (2)\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải

Nhân hai vế của phương trình $(1)$ với $2$ và nhân hai vế của phương trình $(2)$ với $3$, ta được hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{aligned}&6x + 4y = 8 \, \, \, (3)\\& -6x + 9y = -21 \, \, \, (4)\\ \end{aligned}\right.$.

Cộng từng vế hai phương trình $(3)$ và $(4)$, ta được phương trình:

$13y = -13$

Giải phương trình $13y = -13$, ta có: $y = -1$.

Thế giá trị $y = -1$ vào phương trình $(1)$, ta được phương trình:

$3x + 2 . (-1) = 4$

$3x - 2 = 4$

$x = 2$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x ; y) = (2 ; -1).$