🔺Đề kiểm tra cuối năm số 2 - bộ Kết nối tri thức (phần tự luận) SVIP

Hướng dẫn giải:

Biến đổi phương trình ta có:

$ \sqrt{11-x}=\sqrt{3x+10}-\sqrt{x-1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{11-x}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x+10} $

$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{11-x}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}=3x+10$

$\Leftrightarrow 11-x+2\sqrt{\left( 11-x \right)\left( x-1 \right)}+x-1=3x+10$

$ \Leftrightarrow 2\sqrt{-11+12x-{{x}^{2}}}=3x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 3x\ge 0 \\ & 4\left( -11+12x-{{x}^{2}} \right)=9{{x}^{2}} \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\ge 0 \\ & 13{{x}^{2}}-48x+44=0 \\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}& x=2 \\ & x=\dfrac{22}{13} \\ \end{aligned} \right. $

Thử lại ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x=2$ và $x=\dfrac{22}{13}$.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$ có dạng $\Delta :\,\,a\left( x-1 \right)+b\left( y-2 \right)=0,\,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$ hay $ax+by-a-2b=0$

Theo bài ra $\Delta $ tạo với $d$ một góc $45^{\circ}$ nên:

$\cos 45^{\circ} =\dfrac{\left| 3a+(-2b) \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left| 3a-2b \right|}{\sqrt{13}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{26({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}=2\left| 3a-2b \right|\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-24ab-5{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}&a=5b \\&5a=-b \\ \end{aligned} \right.$

+ Nếu $a=5b$, chọn $a=5,\,\,b=1$ suy ra $\Delta :5x+y-7=0$

+ Nếu $5a=-b$, chọn $a=1,\,\,b=-5$ suy ra $\Delta :x-5y+9=0$.

Hướng dẫn giải:

Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right)=17!$.

Gọi $B$ là biến cố cần tìm.

Đánh số thứ tự các ghế từ 1 đến 17

TH1: Hằng ngồi ghế số 1 (và 17 giống nhau)

+ Xếp 4 nữ còn lại có: $4!$ cách

+ Xếp Đô có: $11$ cách

+ Xếp $11$ nam còn lại có: $11!$ cách

$\Rightarrow $ có: $2.4!.11.11!$

TH2: Hằng ngồi ghế số 5 (9 và 13 giống nhau)

+ Xếp $4$ nữ còn lại có: $4!$ cách

+ Xếp Đô có: $10$ cách

+ Xếp $11$ nam còn lại có: $11!$ cách

$\Rightarrow $ có: $3.4!.10.11!$

$\Rightarrow n\left( B \right)=2.4!.11.11!+3.4!.10.11!=4981616640$

Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( B \right)=\dfrac{1}{7140}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình đường thẳng $d:\,\,y=ax+b$

Vì $C\left( 1;5 \right)\in d$ nên $a+b=5$

Đường thẳng $d:\,\,y=ax+b$ cắt hai tia Ox, Oy lần lượt là $A\left( \dfrac{-b}{a};0 \right),\,\,B\left( 0;b \right),\,\,\,\,\,\,\left( a<0;\,\,b>0 \right)$

Theo giả thiết ta có: ${{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{b}{a} \right|.\left| b \right|=\dfrac{{{b}^{2}}}{2\left| a \right|}=\dfrac{-{{b}^{2}}}{2a}\,\,\,\left( do\,\,a<0 \right)$

$\Rightarrow {{S}_{OAB}}=\dfrac{-{{b}^{2}}}{2\left( 5-b \right)}=10$

$\Rightarrow -{{b}^{2}}=100-20b $

$ \Leftrightarrow {{b}^{2}}-20b+100=0 $

$ \Leftrightarrow b=10\,\,\,\Rightarrow a=5-10=-5$

Vậy phương trình đường thẳng $d:\,\,y=-5x+10$.