Bội chung và bội chung nhỏ nhất SVIP

I. BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Ta kí hiệu: $\text{BC}(a,\,b)$ là tập hợp các bội chung của $a$ và $b$;

                   $\text{BCNN}(a,\,b)$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$.

  Nhận xét

 ⚡ $x\in \text{BC}(a,\,b)$ nếu $x\,\vdots \,a$ và $x\,\vdots \,b$.

 ⚡ $x\in \text{BC}(a,\,b,\,c)$ nếu $x\,\vdots\,a$,  $x\,\vdots \,b$ và $x\,\vdots \,c$.

Chú ý: Ta chỉ xét bội chung của các số khác $0$.

Ví dụ 1: 

Ta có $\text{B}(4)=\{0;\,4;\,8;\,16;\,20;\,24;...\}$; $\text{B}(6)=\{0;\,6;\,12;\,18;\,24;\,30\}$.

Các số $0;\,12;\, 24; ...$ vừa là bội của $4$, vừa là bội của $6$ nên $\text{BC}(4,\,6)=\{0;\,12;\,24;\,..\}$.

Số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp các bội chung của $4$ và $6$ là $12$ nên $\text{BCNN}(4,\,6)=12$.

  Nhận xét

⚡ Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.

Nếu $a\,\vdots \,b$ thì $\text{BCNN}(a\,b)=a$.

⚡ Mọi số tự nhiên đều là bội của $1$. Do đó với mọi số tự nhiên $a$ và$b$ (khác $0$), ta có:

$\text{BCNN}(a,\,1)=a$; $\text{BCNN}(a,\,b,\,1)=\text{BCNN}(a,\,b)$.

Ví dụ 2: Tìm bội chung nhỏ nhất của $36$ và $12$

Giải

Vì $36\,\vdots \,12$ nên $\text{BCNN}(36,\,12)=36$.

II. TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn $1$:

1. 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;
2. 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;
3. 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Ví dụ 3: Tìm $\text{BCNN}(15,\,18)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.

Giải

Phân tích các số $15$ và $18$ ra thừa số nguyên tố, ta được: $15=3.5$; $18=2.3^2$

Thừa số nguyên tố chung là $3$ và riêng là $2$ và $5$.

Số mũ lơn nhất của $3$ là $2$, số mũ lớn nhất của $2$ và $5$ là $1$.

Khi đó $\text{BCNN}(15,\,18)=3^2.2.5=90$.

  Nhận xét

Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể làm như sau:

1. 1. Tìm BCNN của các số.
2. 2. Tìm các bội của BCNN đó.

Ví dụ 4: 

Ta có $\text{BCNN}(15,\,18)=90$

Từ đó suy ra $\text{BC}(15,\,18)=\{0;\,90;\,180;\,270;..\}$

Nên bội chung nhỏ hơn $300$ của $15$ và $18$ là $0;\,90;\,180;\, 270$.

III. ỨNG DỤNG BỘI CHUNG NHỎ NHẤT VÀO CỘNG, TRỪ CÁC PHÂN SỐ KHÔNG CÙNG MẪU

Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số ta có thể làm như sau:

1. Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu số (thường là BCNN) để làm mẫu số chung.
2. Bước 2. Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số (bằng cách chia mẫu số chung cho từng mẫu số riêng).
3. Bước 3: Nhận tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ 5: Quy đồng mẫu các phân số $\dfrac{3}{8},\, \dfrac{5}{6}$ và $\dfrac{1}{12}$.

Giải

Ta có $8=2^3$; $6=2.3$; $12=2^2.3$ nên $\text{BCNN}(8,\,6,\,12)=2^3.3=24$.

Ta có thể lấy mẫu chung của cả ba phân số trên là $24$. Do đó

$\dfrac{3}{8}=\dfrac{3.3}{8.3}=\dfrac{9}{24}$;

$\dfrac{5}{6}=\dfrac{5.4}{6.4}=\dfrac{20}{24}$;

$\dfrac{1}{12}=\dfrac{1.2}{12.2}=\dfrac{2}{24}$.

Ví dụ 6: Thực hiện phép tính $\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{18}$.

Giải

Ta có $\text{BCNN}(12,\,18) = 36$ nên ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số là $36$. Do đó

$\dfrac{5}{12}=\dfrac{5.3}{12.3}=\dfrac{15}{36}$; $\dfrac{7}{18}=\dfrac{7.2}{18.2}=\dfrac{14}{36}$       

Vậy $\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{18}=\dfrac{15}{36}+\dfrac{14}{36}=\dfrac{29}{36}$