Bất phương trình bậc nhất hai ẩn SVIP

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ là bất phương trình có một trong các dạng sau:

$ax+by< c;ax+by>c;ax+by\le c;ax+by\ge c.$\(ax+by+c< 0;ax+by+c>0;ax+by+c\ge0;ax+by+c\le0\)

trong đó $a,b,c$ là những số cho trước với $a,b$  không đồng thời bằng $0$ , $x$ và $y$ là các ẩn.

Ví dụ.  \(3x-2y+4< 0\)  và \(x+6y-\dfrac{1}{3}\ge0\) là những bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét bất phương trình \(ax+by+c< 0.\)

Mỗi cặp số \(\left(x_0;y_0\right)\) thỏa mãn \(ax_0+by_0+c< 0\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Ví dụ. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(2x+y-6< 0\). Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình trên?

a) \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\);              b) \(\left(x;y\right)=\left(4;-1\right)\).

Giải

a) Vì \(2.1+2-6=-2< 0\) nên cặp số \(\left(1;2\right)\) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Vì \(2.4+\left(-1\right)-6=1>0\) nên cặp số \(\left(4;-1\right)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp các điểm \(\left(x_0;y_0\right)\) sao cho \(ax_0+by_0+c< 0\) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình \(ax+by+c< 0.\)

Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax+by+c< 0\) như sau:

Bước 1: Trân mặt phẳng \(Oxy\), vẽ đường thẳng \(\Delta:ax+by+c=0.\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left(x_0;y_0\right)\) không thuộc \(\Delta\). Tính \(ax_0+by_0+c.\)

Bước 3: Kết luận

- Nếu \(ax_0+by_0+c< 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta\)) chứa điểm \(\left(x_0;y_0\right)\).

- Nếu  \(ax_0+by_0+c>0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta\)) không chứa điểm \(\left(x_0;y_0\right)\).

Chú ý:  Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng \(ax+by+c\le0\) (hoặc \(ax+by+c\ge0\)) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình \(ax+by+c< 0\) (hoặc \(ax+by+c>0\)) kể cả bờ.

Ví dụ. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(2x-y\ge0\) trên mặt phẳng tọa độ?

Giải.

Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(2x-y\ge0\) trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Vẽ đường thẳng \(d:2x-y=0\) trên mặt phẳng tọa độ.

Lấy điểm \(M\left(1;0\right)\)  không thuộc \(d\) . Ta có \(2.1-0=2>0\) do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(M\)(miền không tô màu) trong hình vẽ sau