Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. $SD = \dfrac{3a}2$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $AB$. Tính khoảng cách từ $H$ đến $(SCD)$.
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài ta có: $SH \perp (ABCD)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $CD\Rightarrow \left\{\begin{aligned} & HI = a\\ & HI \perp CD \end{aligned} \right.$
Vì $\left\{\begin{aligned} & CD \perp SH\\ & HI \perp CD \end{aligned} \right.\Rightarrow CD \perp (SHI)\Rightarrow (SCD) \perp (SHI)$.
Trong $(SHI)$ kẻ $HK \perp SI$, $K \in SI$.
Do $\left\{\begin{aligned} & (SCD) \perp (SHI)\\ & (SCD) \cap (SHI) = SI\\ & (SHI) \supset HK\\ & HK \perp SI \end{aligned}\right. \Rightarrow HK \perp (SCD)$.
$\Rightarrow d(H,(SCD)) = HK = \dfrac{SI.HI}{\sqrt{SH^2 + HI^2}}$.
Ta có $HD^2 = AH^2 + AD^2 = \left(\dfrac a2\right)^2 + a^2 = \dfrac{5a^2}4$
$\Rightarrow SH = \sqrt{SD^2-HD^2}=\sqrt{\left(\dfrac{3a}2 \right)^2 - \dfrac{5a^2}4} = a.$
Do đó $d(H,(SCD)) = HK = \dfrac{SI.HI}{\sqrt{SH^2 + HI^2}} = \dfrac{a.a}{\sqrt{a^2 + a^2}}=\dfrac{a\sqrt2}2.$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $AD=2a$, $AB=BC=SA=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Tính khoảng cách $h$ từ $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$.
Hướng dẫn giải:
Ta có $\dfrac{d(M,(SCD))}{d(A,(SCD))}=2 \Rightarrow d(M,(SCD))=\dfrac12d(A,(SCD)).$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$. Góc $\widehat{ABC} = 60^{\circ}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy. Trên cạnh $BC$ và $CD$ lần lượt lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $MB = MC$ và $NC = 2ND$. Gọi $P$ là giao điểm $AC$ và $MN$. Tính khoảng cách từ $P$ đến mặt phẳng $(SAB)$.
Hướng dẫn giải:
Dựng $CH \perp AB \Rightarrow CH \perp (SAB)$.
Giả sử $MN$ cắt $AD$ tại $F$. Theo định lí Ta-let ta có:
