Chọn mặt đất làm gốc thế năng. Gọi A là vị trí vật được ném lên.

Cơ năng của vật tại A là \(w_A=w_{t_A}+w_{đ_A}=mgh_A+\dfrac{1}{2}mv_A^2\) \(=10.10.m+\dfrac{1}{2}.20^2.m\) \(=300m\left(J\right)\)

a) Gọi B là vị trí mà động năng bằng 3 lần thế năng. Ta có \(w_{đ_B}=3w_{t_B}\Rightarrow4w_{t_B}=w_B=300m\) \(\Rightarrow4mgh_B=300m\) \(\Rightarrow h_B=7,5\left(m\right)\)

Vậy tại vị trí vật cao 7,5m so với mặt đất thì động năng bằng 3 lần thế năng. Đồng thời \(w_{đ_B}=3w_{t_B}\Rightarrow w_{t_B}=\dfrac{1}{3}w_{đ_B}\)\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}w_{đ_B}=w_B=300m\) \(\Rightarrow\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}mv_B^2=300m\) \(\Rightarrow v_B=15\sqrt{2}\approx21,213\left(m/s\right)\)

Vậy vận tốc của vật khi đó xấp xỉ \(21,213m/s\).

b) Gọi C là vị trí vật chạm đất, khi đó \(w_{t_C}=0\) nên \(w_{đ_C}=w_C=300m\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv_C^2=300m\) \(\Rightarrow v_C=10\sqrt{6}\approx24,495\left(m/s\right)\)

Vậy vận tốc của vật khi chạm đất xấp xỉ \(24,495m/s\).

a) Theo đề bài, ta thấy \(\widehat{AHM}=\widehat{AKM}=90^o\) nên dễ dàng suy ra tứ giác AHMK nội tiếp do 2 góc đối bù nhau.

b) Do tứ giác AHMK nội tiếp nên \(\widehat{HMK}+\widehat{A}=180^o\). Tứ giác ABMC nội tiếp nên \(\widehat{BMC}+\widehat{A}=180^o\). Từ đó suy ra \(\widehat{HMK}=\widehat{BMC}\) hay \(\widehat{BMH}=\widehat{CMK}\). Lại có \(\widehat{MHB}=\widehat{MKC}=90^o\) nên \(\Delta MHB~\Delta MKC\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{MH}{MK}=\dfrac{MB}{MC}\) \(\Rightarrowđpcm\)

 Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Gọi \(\overrightarrow{F_k}\) là lực kéo tác dụng lên sợi dây, \(\overrightarrow{P}\) và \(\overrightarrow{N}\) lần lượt là trọng lực tác dụng lên vật. Ta phân tích \(\overrightarrow{F_k}\) thành 2 lực \(\overrightarrow{F_{k_x}}\) và \(\overrightarrow{F_{k_y}}\) trên các trục Ox, Oy.

a) Công của lực kéo là \(A_k=F_k.s.cos\left(\overrightarrow{F_k},\overrightarrow{s}\right)=100.20.cos45^o=1000\sqrt{2}\left(J\right)\)

b) Gọi \(\overrightarrow{F_{ms}}\) là lực ma sát tác dụng lên vật. Chọn chiều dương là chiều chuyển động của vật

Áp dụng định luật II Newton:

\(\overrightarrow{F_k}+\overrightarrow{P}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F_{ms}}=m.\overrightarrow{a}\)    (1)

Chiếu (1) lên Oy: \(N=P-F_{k_y}=400-F_k.sin45^o=400-175\sqrt{2}\left(N\right)\)

 Do đề bài không nói gì về loại chuyển động của vật nên mình sẽ xem đây là chuyển động nhanh dần đều nhé. Khi đó, ta sẽ có \(s=\dfrac{1}{2}at^2\Rightarrow20=\dfrac{1}{2}a.180^2\) \(\Rightarrow a=\dfrac{1}{810}\left(m/s^2\right)\). 

 Chiếu (1) lên Ox, ta được \(F_{k_x}-F_{ms}=m.a\Rightarrow F_{ms}=F_{k_x}-m.a=350.cos45^o-400.\dfrac{1}{180}\)\(=170\sqrt{2}-\dfrac{20}{9}\) (N)

\(\Rightarrow A_{ms}=-\left(170\sqrt{2}-\dfrac{20}{9}\right).20\approx-4763,88\left(J\right)\)

a) PTHH: \(CH_4+2O_2\underrightarrow{t^o}CO_2+2H_2O\)

                \(C_2H_4+3O_2\underrightarrow{t^o}2CO_2+2H_2O\)

b) Đặt \(n_{CH_4}=x\left(mol\right);n_{C_2H_4}=y\left(mol\right)\). Khi đó \(22,4x+22,4y=4,48\) \(\Leftrightarrow x+y=0,2\)

Từ PTHH \(\Rightarrow n_{O_2\left(1\right)}=2x\left(mol\right)\)\(;n_{O_2\left(2\right)}=3y\left(mol\right)\). Khi đó \(2x.22,4+3y.22,4=11,2\) \(\Leftrightarrow2x+3y=0,5\)

Vậy ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0,2\\2x+3y=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=0,1\left(mol\right)\)

\(\Rightarrow\%V_{CH_4}=\%V_{C_2H_4}=50\%\)

a) Theo đề bài, ta có \(\widehat{DEC}=\widehat{DFC}=90^o\) \(\Rightarrow\) Tứ giác CDEF nội tiếp do có 2 đỉnh kề nhau E, F cùng nhìn cạnh CD dưới góc vuông. \(\Rightarrow\widehat{DFE}=\widehat{DCE}=\widehat{DCB}=\widehat{DAB}\) (do tứ giác ABDC nội tiếp nên \(\widehat{DCB}=\widehat{DAB}\)). Từ đó suy ra đpcm.

b) Có \(\widehat{KBD}=\widehat{ACD}\) (do tứ giác ABDC nội tiếp) và \(\widehat{ACD}=\widehat{KED}\) (do tứ giác CDEF nội tiếp) \(\Rightarrow\widehat{KBD}=\widehat{KED}\) \(\Rightarrow\) Tứ giác DKBE nội tiếp. 

Mặt khác, \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}=\widehat{EDF}\) và \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=\widehat{EFD}\)

\(\Rightarrow\Delta DBA~\Delta DEF\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{DA}{DF}=\dfrac{DB}{DE}\) \(\Rightarrow DA.DE=DB.DF\)

c) \(\Delta DBA~\Delta DEF\Rightarrow\dfrac{DB}{DE}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{2BI}{2EJ}=\dfrac{BI}{EJ}\) . Lại có \(\widehat{DBI}=\widehat{DEJ}\) nên \(\Delta DBI~\Delta DEJ\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{DIB}=\widehat{DJE}\) hay \(\widehat{DIK}=\widehat{DJK}\) \(\Rightarrow\) Tứ giác DJIK nội tiếp \(\Rightarrow\) \(\widehat{DJI}=180^o-\widehat{DKI}\) . Lại có \(\widehat{DKI}=180^o-\widehat{BED}=90^o\) (do tứ giác DKBE nội tiếp) \(\Rightarrow\widehat{DJI}=90^o\) \(\Rightarrow\) đpcm

Ta có \(A=m^3+n^3+mn\)

\(A=\left(m+n\right)^3-3mn\left(m+n\right)+mn\)

\(A=1-3mn+mn\)

\(A=1-2mn\)

\(A=1-2m\left(1-m\right)\)

\(A=2m^2-2m+1\) 

\(A=2\left(m^2-m+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(A=2\left(m^2-2m.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right)\)

\(A=2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\) 

Do \(\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) nên \(A\ge\dfrac{1}{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\Rightarrow n=\dfrac{1}{2}\).

Vậy GTNN của A là \(\dfrac{1}{2}\) khi \(m=n=\dfrac{1}{2}\)

\(P=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{4.6}+...+\dfrac{1}{2021.2023}\)

Ta sẽ "tách" P làm 2 phần:

\(A=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+...+\dfrac{1}{2021.2023}\)

\(B=\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{4.6}+\dfrac{1}{6.8}+...+\dfrac{1}{2020.2022}\)

Do đó \(P=A+B\)

Ta có \(A=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+...+\dfrac{2}{2021.2023}\right)\)

\(A=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3-1}{1.3}+\dfrac{5-3}{3.5}+\dfrac{7-5}{5.7}+...+\dfrac{2023-2021}{2021.2023}\right)\)

\(A=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2023}\right)\)

\(A=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2023}\right)\) 

\(A=\dfrac{1011}{2023}\)

Mặt khác, \(B=\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{4.6}+\dfrac{1}{6.8}+...+\dfrac{1}{2020.2022}\)

\(B=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{2.4}+\dfrac{2}{4.6}+\dfrac{2}{6.8}+...+\dfrac{2}{2020.2022}\right)\)

\(B=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4-2}{2.4}+\dfrac{6-4}{4.6}+\dfrac{8-6}{6.8}+...+\dfrac{2022-2020}{2020.2022}\right)\)

\(B=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2022}\right)\)

\(B=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2022}\right)\)

\(B=\dfrac{505}{2022}\)

Từ đó \(P=A+B=\dfrac{1011}{2023}+\dfrac{505}{2022}=\dfrac{3065857}{4090506}\)

Dễ thấy tứ giác OAMB nội tiếp   (1) (do có \(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^o\)) 

Xét đường tròn (O), có I là trung điểm của dây cung CD \(\Rightarrow OI\perp CD\) tại I hay \(\widehat{OEM}=90^o\)

Từ đó suy ra tứ giác OEMB nội tiếp   (2) (\(\widehat{OEM}=\widehat{OBM}=90^o\))

Từ (1) và (2), suy ra 5 điểm O,A,B,M,E cùng nằm trên 1 đường tròn \(\Rightarrow\)Tứ giác AOEB nội tiếp.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=2\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(2;3\right)\)

Do M nằm trên \(\Delta:3x-y+1=0\) nên \(M\left(m;3m+1\right)\). Ta có \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG} \right|\) \(=3MG\)

Gọi I là tâm  tỉ cự của 2 điểm A, B ứng với bộ số \(\left(1;2\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\). Điều này có nghĩa \(\overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\). Mà \(\overrightarrow{AB}=\left(3;3\right)\) nên \(\overrightarrow{IB}=\left(1;1\right)\) \(\Rightarrow I\left(1;5\right)\)

Với điểm M, ta có \(\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|=\left|\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\right|\) \(=\left|3\overrightarrow{MI}\right|=3MI\)  (do \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\))

Từ đó \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\)

\(=3\left(MG+MI\right)\). Ta sẽ tìm GTNN của \(MG+MI\)

Ta thấy \(MG+MI\ge IG\). Ta lại có \(\left(3.2-3+1\right)\left(3.1-5+1\right)< 0\) nên I và G nằm khác phía so với đường thẳng \(\Delta:3x-y+1=0\). Do đó, \(MG+MI=IG\Leftrightarrow\) M nằm trên IG. 

Phương trình đường thẳng IG: \(\dfrac{y-3}{x-2}=\dfrac{5-3}{1-2}=-2\) \(\Leftrightarrow y-3=4-2x\) \(\Leftrightarrow2x+y-7=0\).

M thuộc IG \(\Leftrightarrow2m+\left(3m+1\right)-7=0\) \(\Leftrightarrow m=\dfrac{6}{5}\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{23}{5}\right)\)

Vậy điểm \(M\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{23}{5}\right)\) thỏa mãn ycbt.