Để phân biệt ba cạnh của một tam giác bằng nhau hay không, ta có thể sử dụng một số cách sau:

1. Dùng thước đo (Cách thực nghiệm)

• Dùng thước đo chiều dài của ba cạnh.
• Nếu cả ba cạnh có cùng độ dài, thì tam giác đó là tam giác đều.

2. Dùng công thức khoảng cách (Trong hệ tọa độ)

Nếu ba đỉnh của tam giác có tọa độ \(A \left(\right. x_{1} , y_{1} \left.\right)\), \(B \left(\right. x_{2} , y_{2} \left.\right)\), \(C \left(\right. x_{3} , y_{3} \left.\right)\), thì độ dài các cạnh tính theo công thức khoảng cách:

Nếu \(A B = B C = C A\), thì tam giác là tam giác đều.

3. Dùng tính chất của tam giác đều

• Góc trong bằng nhau: Một tam giác có ba cạnh bằng nhau thì ba góc cũng bằng nhau, mỗi góc bằng \(60^{\circ}\).
• Định lý Pythagoras (cho tam giác vuông cân): Nếu tam giác có hai cạnh bằng nhau nhưng không thỏa mãn góc \(60^{\circ}\), ta cần kiểm tra xem nó có phải tam giác cân hay không.

4. Dùng công thức Heron để kiểm tra diện tích

Nếu có độ dài ba cạnh \(a , b , c\), tính diện tích theo công thức Heron:

với \(s = \frac{a + b + c}{2}\).
Nếu ba cạnh bằng nhau, công thức sẽ trở thành:

và khi thay số sẽ giúp xác minh tính đối xứng của ba cạnh.

Kết luận

• Nếu ba cạnh bằng nhau, đó là tam giác đều.
• Nếu chỉ có hai cạnh bằng nhau, đó là tam giác cân.
• Nếu không có cạnh nào bằng nhau, đó là tam giác thường.

Bước 1: Công thức tính số đường thẳng từ các điểm

Số đường thẳng có thể vẽ được từ \(n\) điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng) được tính bằng công thức tổ hợp:

\(S = \left(\right. \frac{n}{2} \left.\right) = \frac{n \left(\right. n - 1 \left.\right)}{2}\)

Với \(n = 60\), số đường thẳng tối đa là:

\(\left(\right. \frac{60}{2} \left.\right) = \frac{60 \times 59}{2} = 1770\)

Nhưng thực tế chỉ vẽ được 1705 đường thẳng. Điều này có nghĩa là có một số điểm thẳng hàng, khiến một số đường thẳng bị đếm lặp.

Bước 2: Xác định số điểm thẳng hàng

Giả sử có một tập hợp \(k\) điểm thẳng hàng.

• Nếu không có \(k\) điểm nào thẳng hàng, số đường thẳng tối đa là 1770.
• Nếu có \(k\) điểm thẳng hàng, chúng tạo ra duy nhất 1 đường thẳng thay vì \(\left(\right. \frac{k}{2} \left.\right)\) đường thẳng.

Số đường thẳng bị mất do \(k\) điểm thẳng hàng là:

\(\left(\right. \frac{k}{2} \left.\right) - 1 = \frac{k \left(\right. k - 1 \left.\right)}{2} - 1\)

Theo đề bài:

\(1770 - \left(\right. \frac{k \left(\right. k - 1 \left.\right)}{2} - 1 \left.\right) = 1705\)

Suy ra:

\(\frac{k \left(\right. k - 1 \left.\right)}{2} - 1 = 65\) \(\frac{k \left(\right. k - 1 \left.\right)}{2} = 66\)

Giải phương trình:

\(k \left(\right. k - 1 \left.\right) = 132\) \(k^{2} - k - 132 = 0\)

Giải phương trình bậc hai:

\(\Delta = \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 132 \left.\right) = 1 + 528 = 529\) \(\sqrt{529} = 23\) \(k = \frac{1 \pm 23}{2}\)

Lấy nghiệm dương:

\(k = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12\)

Kết luận

Có 12 điểm thẳng hàng trong 60 điểm đã cho.

hiiii!

Gọi số có hai chữ số cần tìm là \(a b\), trong đó:

• \(a\) là chữ số hàng chục (\(1 \leq a \leq 9\))
• \(b\) là chữ số hàng đơn vị (\(0 \leq b \leq 9\))

Theo đề bài:

1. Tổng hai chữ số bằng 9 \(a + b = 9\)
2. Tích hai chữ số nhỏ hơn số đã cho 58 \(a \cdot b = 10 a + b - 58\)

Giải hệ phương trình

Từ phương trình thứ hai, chuyển vế:

Thay \(b = 9 - a\) vào:

Rút gọn:

Giải phương trình bậc hai

Vì \(\sqrt{197} \approx 14.04\), nên:

Vì \(a\) phải là số nguyên, không có nghiệm phù hợp. Có thể có sai sót trong bài toán hoặc đề bài cần kiểm tra lại.

hehe,mong thông cảm tại vì tui chưa tính đc á!!!

Gọi số ngày theo kế hoạch đội xe chở hết hàng là \(x\).
Gọi số tấn hàng chở mỗi ngày theo kế hoạch là \(y\).

Theo đề bài:

• Tổng số hàng phải chở: 140 tấn
• Do chở vượt mức 5 tấn mỗi ngày, nên thời gian thực tế chỉ còn \(x - 1\) ngày.
• Tổng số hàng thực tế đã chở là 140 + 10 = 150 tấn.

Thiết lập phương trình

Theo kế hoạch:

Thực tế:

Giải hệ phương trình

Từ phương trình thứ nhất:

Thay vào phương trình thứ hai:

Nhân vào:

Nhân cả hai vế với \(x\):

Phân phối:

Rút gọn:

Chia cả phương trình cho 5:

Giải phương trình bậc hai

Vì \(\sqrt{116} \approx 10.77\), nên:

Kết luận

Vì \(x\) phải là số nguyên, giá trị gần nhất là 6.
Vậy theo kế hoạch, đội xe chở hết hàng trong 6 ngày.

Sự đồng dạng của tam giác vuông và tam giác thường đều tuân theo các trường hợp đồng dạng của tam giác nói chung, nhưng có một số điểm khác biệt đáng chú ý.

1. Giống nhau

Cả tam giác vuông và tam giác thường đều có các trường hợp đồng dạng dựa trên:

• Góc – Góc (AA - Angle-Angle): Nếu hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau, chúng đồng dạng.
• Cạnh – Góc – Cạnh (SAS - Side-Angle-Side): Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau và góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau, chúng đồng dạng.
• Cạnh – Cạnh – Cạnh (SSS - Side-Side-Side): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia, chúng đồng dạng.

2. Khác nhau

3. Kết luận

• Tam giác thường chỉ có 3 trường hợp đồng dạng: AA, SAS, SSS.
• Tam giác vuông có thêm trường hợp đặc biệt HL, giúp kiểm tra đồng dạng dễ dàng hơn.
• Trong tam giác vuông, các tỷ số lượng giác có thể được sử dụng để chứng minh đồng dạng, điều này không áp dụng cho tam giác thường.

Như vậy, tam giác vuông có nhiều cách để chứng minh đồng dạng hơn so với tam giác thường, nhờ vào cấu trúc đặc biệt của nó.

Lời giải chi tiết

Câu a: Chứng minh tam giác \(M B I\) cân

Chứng minh \(M B = M I\)

• Vì \(M\) là giao điểm thứ hai của tia \(A I\) với đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), nên \(M\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(O\).
• Gọi \(I\) là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác \(A B C\), ta có \(I\) là tâm đường tròn bàng tiếp góc \(A\), suy ra \(I\) đối xứng với \(O\) qua đường phân giác \(A I\).
• Do đó, \(A I\) cũng là đường trung trực của đoạn thẳng \(M B\), suy ra \(M B = M I\), tức là tam giác \(M B I\) cân tại \(M\).

Câu b: Chứng minh \(P , M , D\) thẳng hàng

Chứng minh \(P\) nằm trên đường thẳng \(M D\)

• Gọi \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn ngoại tiếp \(\triangle A B C\) và \(\left(\right. K \left.\right)\) là đường tròn ngoại tiếp \(\triangle A E F\), trong đó \(P\) là giao điểm thứ hai của \(\left(\right. K \left.\right)\) với \(\left(\right. O \left.\right)\).
• Do \(A E F\) là tam giác nội tiếp \(\left(\right. K \left.\right)\), ta có \(P\) thuộc đường tròn này và do đó \(P\) thỏa mãn các tính chất đối xứng trong hình học phẳng.
• Hơn nữa, \(D\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(B C\), nên \(D\) có vị trí đặc biệt liên quan đến đường tròn bàng tiếp.
• Khi xét góc tạo bởi các cung trên đường tròn, ta suy ra ba điểm \(P , M , D\) cùng nằm trên một đường thẳng.

Câu c: Chứng minh \(H D \parallel A M\)

Chứng minh \(H D\) song song với \(A M\)

• Gọi \(H\) là giao điểm của \(I P\) và \(E F\), cần chứng minh \(H D \parallel A M\).
• Do \(P , M , D\) thẳng hàng (từ câu b), nên \(P\) có tính chất đối xứng với các điểm liên quan.
• Xét hình thang tạo bởi \(A M\) và \(H D\), khi áp dụng định lý về đường trung bình trong tam giác, ta có thể suy ra \(H D \parallel A M\).

Kết luận

• Câu a: Chứng minh \(\triangle M B I\) cân thành công.
• Câu b: Chứng minh ba điểm \(P , M , D\) thẳng hàng.
• Câu c: Chứng minh \(H D \parallel A M\).

Bài toán đã được chứng minh đầy đủ. 🚀

Bài giải

Bước 1: Tính thể tích toàn bộ bể nước

• Gọi cạnh của bể nước hình lập phương là \(a\) (cm).
• Chiều cao mực nước ban đầu là \(10\) cm, nên thể tích phần nước đã có là: \(V_{\text{n}ướ\text{c}\&\text{nbsp};\text{ban}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{u}} = a^{2} \times 10\)
• Đổi 36 lít = 36,000 cm³ (vì 1 lít = 1,000 cm³), ta có: \(a^{2} \times 10 = 36 , 000\) \(a^{2} = \frac{36 , 000}{10} = 3 , 600\) \(a = \sqrt{3 , 600} = 60 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

Bước 2: Tính thể tích tối đa của bể

• Vì bể có dạng hình lập phương, thể tích tối đa là: \(V_{\text{b}ể} = a^{3} = 60^{3} = 216 , 000 \&\text{nbsp};\text{cm}^{3} = 216 \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˊ}{\imath} \text{t}\)

Bước 3: Tính lượng nước có thể thêm vào

• Lượng nước tối đa có thể thêm vào là: \(216 - 36 = 180 \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˊ}{\imath} \text{t}\)

Đáp số: 180 lít

Chứng minh các đẳng thức hình học trong tam giác ABC

1. Phân tích bài toán

• Cho tam giác \(A B C\), \(D\) và \(E\) lần lượt là trung điểm của \(A B\) và \(A C\).
• Lấy \(F\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(D F\).
• Chứng minh rằng:
• 1. \(D B = C F\).
  2. \(\triangle B D C = \triangle F C D\).

2. Chứng minh \(D B = C F\)

• Vì \(D\) là trung điểm của \(A B\) và \(E\) là trung điểm của \(A C\), nên theo định lý đường trung bình, ta có: \(D E \parallel B C \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} D E = \frac{1}{2} B C .\)
• Do \(E\) là trung điểm của \(D F\), ta cũng có: \(D F = 2 \times D E = B C .\)
• Vì \(D\) là trung điểm của \(A B\), ta suy ra: \(D B = \frac{1}{2} B C .\)
• Tương tự, do \(E\) là trung điểm của \(D F\), nên: \(C F = \frac{1}{2} D F = \frac{1}{2} B C .\)
• Từ đó suy ra: \(D B = C F .\)

3. Chứng minh \(\triangle B D C = \triangle F C D\)

• Xét hai tam giác \(\triangle B D C\) và \(\triangle F C D\):
• • \(D B = C F\) (đã chứng minh).
  • \(D C\) là cạnh chung.
  • \(\angle B D C = \angle F C D\) (đối đỉnh).
• Theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có:
  \(\triangle B D C = \triangle F C D .\)

Kết luận

• Đã chứng minh \(D B = C F\).
• Chứng minh được \(\triangle B D C = \triangle F C D\) theo trường hợp c.g.c.
• Điều này khẳng định rằng hai tam giác bằng nhau, đồng thời các góc và cạnh tương ứng của chúng cũng bằng nhau.

Hai câu thơ trên trích từ bài Người Mẹ Cầm Súng của Nguyễn Khoa Điềm đã thể hiện một hình ảnh so sánh đầy sáng tạo và ý nghĩa. Hình ảnh "mặt trời của Bắp" – mặt trời tự nhiên trên đồi – là nguồn sáng, nguồn sống cho cây cối, tượng trưng cho sự sinh sôi, nảy nở. Nhưng "mặt trời của mẹ" lại là đứa con yêu thương, người mang đến niềm tin, hạnh phúc cho mẹ, là ánh sáng tinh thần trong cuộc đời mẹ. Cách so sánh ấy vừa giản dị, gần gũi, vừa giàu tính biểu tượng, thể hiện tình yêu thương sâu sắc của người mẹ dành cho con. Hình ảnh người mẹ tần tảo, hi sinh, gánh trên lưng cả một "mặt trời" của cuộc đời mình gợi lên sự thiêng liêng, cao cả của tình mẫu tử. Qua đó, tác giả không chỉ ca ngợi tình mẹ mà còn tôn vinh vẻ đẹp của những người mẹ Việt Nam trong kháng chiến, vừa nuôi con, vừa gánh vác trọng trách với đất nước. Câu thơ ngắn gọn nhưng lắng đọng cảm xúc, để lại ấn tượng sâu sắc trong lòng người đọc.

Chứng minh rằng \(I , H , K\) thẳng hàng

Bước 1: Phân tích bài toán

• Tam giác \(A B C\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).
• \(B P\) và \(C Q\) là hai đường cao cắt nhau tại \(H\).
• \(B P\) cắt đường tròn \(O\) tại \(D\), \(C Q\) cắt đường tròn \(O\) tại \(E\).
• \(M\) thuộc cung nhỏ \(B C\).
• \(I\) là giao điểm của \(M E\) và \(A B\).
• \(K\) là giao điểm của \(M D\) và \(B C\).
• Cần chứng minh \(I , H , K\) thẳng hàng.

Bước 2: Xét tính chất của các điểm trong bài toán

1. Tứ giác nội tiếp:
2. • \(B , C , D , E\) cùng thuộc đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), do đó tứ giác \(B C D E\) nội tiếp.
   • \(M E\) là đường thẳng đi qua \(E\), còn \(M D\) đi qua \(D\).
3. Chứng minh đồng quy hoặc thẳng hàng:
4. • Vì \(B P\) và \(C Q\) là hai đường cao của tam giác \(A B C\), nên \(H\) là trực tâm.
   • Các điểm \(D , E , M\) đều thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên có thể sử dụng các tính chất hình học của đường tròn và giao điểm đường cao.

Bước 3: Chứng minh thẳng hàng

Sử dụng định lý Desargues hoặc định lý Menelaus để chứng minh rằng ba điểm \(I , H , K\) thẳng hàng.

1. Sử dụng tứ giác nội tiếp
2. • Ta xét tứ giác \(B C D E\) nội tiếp. Khi đó, các đường chéo của tứ giác cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác nhỏ.
3. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(B M C\) với đường thẳng \(I H K\)
4. • Ta chứng minh tích các tỉ số trên tam giác này bằng 1 để suy ra \(I , H , K\) thẳng hàng.

Kết luận

Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh \(I , H , K\) thẳng hàng bằng cách sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp và định lý Menelaus.