Ta cần chứng minh rằng phân số

là tối giản, với giả thiết rằng phân số \(\frac{a}{b}\) là tối giản, tức là \(gcd ⁡ \left(\right. a , b \left.\right) = 1\).

Bước 1: Phân tích mẫu số

Mẫu số của phân số cần chứng minh là:

Mẫu số này chứa các thừa số \(a\) và \(b\) ở lũy thừa bậc 2024.

Bước 2: Phân tích tử số

Tử số của phân số cần chứng minh là:

Tử số này chính là tích của \(a\) và \(b\).

Bước 3: Xét ước chung lớn nhất

Xét ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số:

Ta có:

• \(gcd ⁡ \left(\right. a , a^{2024} \left.\right) = a\) vì \(a^{2024}\) chứa thừa số \(a\).
• \(gcd ⁡ \left(\right. b , b^{2024} \left.\right) = b\) vì \(b^{2024}\) chứa thừa số \(b\).

Suy ra:

Bước 4: Xét phân số

Do \(gcd ⁡ \left(\right. a \cdot b , a^{2024} \cdot b^{2024} \left.\right) = a \cdot b\), ta có:

Phân số này là tối giản vì tử số là 1 và mẫu số chỉ chứa các lũy thừa của \(a , b\) (trong đó \(gcd ⁡ \left(\right. a , b \left.\right) = 1\), nên không có ước số chung nào khác ngoài 1).

Kết luận

Vậy phân số \(\frac{a . b}{a^{2024} . b^{2024}}\) là phân số tối giản.

tham khảo 1:Cảm nhận chung về truyện ngắn "Lặng lẽ Sa Pa" – Nguyễn Thành Long

"Lặng lẽ Sa Pa" là một truyện ngắn nhẹ nhàng, sâu lắng của Nguyễn Thành Long, được viết trong chuyến đi thực tế lên vùng Tây Bắc. Truyện không có những tình tiết kịch tính hay cao trào dữ dội, mà thay vào đó là một câu chuyện bình dị về những con người lao động lặng thầm nhưng đầy ý nghĩa giữa thiên nhiên Sa Pa hùng vĩ.

Tác phẩm đã khắc họa thành công hình ảnh người thanh niên làm công tác khí tượng trên đỉnh Yên Sơn – một con người đầy trách nhiệm, yêu nghề, say mê khoa học và sống cống hiến vì cộng đồng. Dù sống một mình trên núi cao, anh vẫn luôn giữ tinh thần lạc quan, chủ động trong công việc và đời sống. Nhân vật này trở thành biểu tượng cho những con người lao động thầm lặng, góp phần xây dựng đất nước mà không cần đến sự ghi nhận hay tung hô.

Ngoài nhân vật chính, tác phẩm còn có hình ảnh ông họa sĩ và cô kỹ sư trẻ – những con người mang trong mình niềm đam mê và sự trân trọng đối với lao động chân chính. Họ đóng vai trò như những người chứng kiến và cảm nhận vẻ đẹp của cuộc sống nơi Sa Pa, đồng thời cũng làm nổi bật lên hình ảnh người thanh niên bằng sự kính phục và ngưỡng mộ.

Bằng lối viết nhẹ nhàng, giàu chất trữ tình, kết hợp với những hình ảnh thiên nhiên Sa Pa thơ mộng, trong trẻo, Nguyễn Thành Long đã đem đến một câu chuyện đầy cảm xúc về những con người sống đẹp, làm việc trong lặng lẽ nhưng có ý nghĩa to lớn. Truyện ngắn này không chỉ ca ngợi vẻ đẹp của con người mà còn truyền tải thông điệp sâu sắc về giá trị của sự cống hiến thầm lặng trong cuộc sống.

cảm nhận 2:Cảm nhận về truyện ngắn "Lặng lẽ Sa Pa" – Nguyễn Thành Long

Nhắc đến văn học Việt Nam thời kỳ sau Cách mạng tháng Tám, ta không thể không nhắc đến những tác phẩm mang đậm tính nhân văn, ca ngợi con người lao động trong công cuộc xây dựng đất nước. Trong số đó, truyện ngắn "Lặng lẽ Sa Pa" của Nguyễn Thành Long là một tác phẩm đặc biệt, giàu chất trữ tình và chứa đựng những thông điệp sâu sắc về sự cống hiến thầm lặng. Với cốt truyện đơn giản, lời văn nhẹ nhàng nhưng đầy tinh tế, tác phẩm đã khắc họa thành công hình ảnh những con người lao động hết mình vì sự nghiệp chung, đồng thời tôn vinh vẻ đẹp thiên nhiên Sa Pa hùng vĩ nhưng cũng rất đỗi nên thơ.

1. Nội dung và ý nghĩa của tác phẩm

"Lặng lẽ Sa Pa" là câu chuyện về cuộc gặp gỡ tình cờ giữa ba con người trên chuyến xe lên Sa Pa: ông họa sĩ già, cô kỹ sư trẻ và bác lái xe. Họ đến với Sa Pa không chỉ để thưởng ngoạn cảnh đẹp nơi đây mà còn để khám phá những con người đang lặng thầm làm việc, đóng góp sức mình cho đất nước. Nhân vật trung tâm của truyện là anh thanh niên làm công tác khí tượng kiêm vật lý địa cầu trên đỉnh Yên Sơn. Cuộc sống của anh đơn độc giữa núi rừng, không có ai bên cạnh nhưng anh vẫn gắn bó với công việc bằng niềm say mê và trách nhiệm.

Điều đáng trân trọng ở nhân vật này là tinh thần tự giác và ý thức cống hiến mà không màng đến danh lợi. Anh hiểu rằng công việc của mình tuy nhỏ bé nhưng có ý nghĩa quan trọng đối với sản xuất và chiến đấu. Sự khiêm tốn, giản dị của anh được thể hiện qua lời nói chân thành: "Khi ta làm việc, ta với công việc là một, sao lại cứ bắt người ta để ý đến mình?" Chính những lời nói và hành động ấy đã khiến ông họa sĩ và cô kỹ sư trẻ cảm phục, đồng thời làm nổi bật lên vẻ đẹp của những con người lao động thầm lặng trong cuộc sống.

2. Hình ảnh người lao động thầm lặng

Không chỉ có nhân vật anh thanh niên, mà qua những lời kể của anh, ta còn thấy được nhiều tấm gương lao động đáng quý khác. Đó là ông kỹ sư nghiên cứu giống su hào, người đã cống hiến cả tuổi trẻ và trí tuệ để cải thiện chất lượng nông sản. Đó là người cán bộ nghiên cứu bản đồ sét, miệt mài với công việc trong suốt nhiều năm liền. Những con người ấy tuy không được nhiều người biết đến, nhưng chính họ đã và đang góp phần quan trọng vào sự phát triển chung của đất nước.

Nguyễn Thành Long đã khéo léo đặt nhân vật vào không gian thiên nhiên Sa Pa để làm nổi bật sự đối lập giữa sự nhỏ bé của con người với thiên nhiên rộng lớn, nhưng đồng thời cũng nhấn mạnh rằng dù ở đâu, con người vẫn có thể làm việc, cống hiến và sống có ý nghĩa. Qua đó, nhà văn muốn gửi gắm thông điệp rằng vẻ đẹp của con người không nằm ở sự hào nhoáng bên ngoài mà ở tinh thần trách nhiệm, sự tận tụy với công việc và lòng yêu nghề.

3. Nghệ thuật xây dựng truyện

Tác phẩm "Lặng lẽ Sa Pa" mang đậm chất trữ tình và chất thơ, thể hiện qua cách miêu tả thiên nhiên Sa Pa vừa hùng vĩ, vừa thơ mộng. Những hình ảnh như "nắng đốt cháy rừng cây", "gió cuốn bụi mù", "mây lùa ngang cửa sổ", "cây cỏ âm thầm trổ hoa" không chỉ tạo nên khung cảnh thiên nhiên tuyệt đẹp mà còn phản chiếu tâm hồn con người – những người lao động cần mẫn, âm thầm nhưng đầy nghị lực.

Lối kể chuyện của Nguyễn Thành Long cũng rất tự nhiên, nhẹ nhàng, không có kịch tính gay cấn nhưng vẫn lôi cuốn người đọc. Câu chuyện được dẫn dắt một cách mượt mà qua những lời kể của nhân vật, giúp người đọc cảm nhận sâu sắc về tính cách, suy nghĩ và lý tưởng sống của họ. Đặc biệt, nhà văn sử dụng nghệ thuật đối lập giữa cái "lặng lẽ" của Sa Pa và sự sôi nổi, nhiệt huyết trong lòng người thanh niên để làm nổi bật tinh thần cống hiến thầm lặng mà cao đẹp.

4. Giá trị tư tưởng của tác phẩm

Từ câu chuyện giản dị nhưng ý nghĩa sâu sắc, "Lặng lẽ Sa Pa" gửi gắm thông điệp rằng: Trong cuộc sống, có rất nhiều người đang ngày đêm làm việc lặng thầm, không mong cầu vinh quang hay danh tiếng, nhưng chính họ là những người đáng trân trọng nhất. Họ chính là những "người hùng thầm lặng", góp phần xây dựng đất nước bằng chính sự tận tụy và trách nhiệm của mình.

Bên cạnh đó, tác phẩm cũng khơi gợi lòng yêu thiên nhiên, trân trọng những giá trị giản dị mà cao quý trong cuộc sống. Qua hình ảnh thiên nhiên Sa Pa, ta cảm nhận được vẻ đẹp của đất nước và càng thêm yêu mến những con người đang miệt mài lao động, cống hiến trong từng lĩnh vực.

5. Kết luận

"Lặng lẽ Sa Pa" là một truyện ngắn nhẹ nhàng, dung dị nhưng giàu ý nghĩa nhân văn. Với nghệ thuật kể chuyện đặc sắc, miêu tả thiên nhiên thơ mộng và hình ảnh con người lao động cao đẹp, tác phẩm không chỉ ca ngợi những người cống hiến thầm lặng mà còn truyền tải thông điệp về giá trị của công việc, của lý tưởng sống cao đẹp. Qua đó, tác phẩm giúp mỗi chúng ta nhận ra rằng: Dù ở đâu, dù làm gì, nếu ta cống hiến hết mình, ta sẽ tìm thấy ý nghĩa đích thực của cuộc sống.

Ta cần tính tổng:

\(S = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \frac{1}{103} + \hdots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200}\)

Phương pháp xấp xỉ bằng tích phân

Tổng này có thể được xấp xỉ bằng tích phân:

\(\sum_{n = a}^{b} \frac{1}{n} \approx \int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x\)

Với \(a = 101\) và \(b = 200\), ta có:

\(S \approx \int_{101}^{200} \frac{1}{x} d x = ln ⁡ \mid 200 \mid - ln ⁡ \mid 101 \mid\) \(S \approx ln ⁡ 200 - ln ⁡ 101 = ln ⁡ \frac{200}{101}\)

Dùng giá trị gần đúng:

\(ln ⁡ 200 \approx 5.298 , ln ⁡ 101 \approx 4.615\) \(S \approx 5.298 - 4.615 = 0.683\)

Phương pháp tính trực tiếp (Gần đúng)

Ta có thể tính gần đúng bằng cách xấp xỉ với tổng của 100 số gần nhau:

\(S \approx 100 \times \frac{1}{150} = \frac{100}{150} = \frac{2}{3} \approx 0.6667\)

Kết luận

Vậy tổng \(S\) xấp xỉ 0.68.

Ta gọi:

• \(S_{x q}\) là diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.
• \(h\) là chiều cao của hình hộp.
• \(a\) và \(b\) là chiều dài và chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật.

Theo đề bài:

• \(S_{x q} = 480\) m²
• \(h = 10\) m

Ta có công thức tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật:

\(S_{x q} = 2 h \left(\right. a + b \left.\right)\)

Thay số vào:

\(480 = 2 \times 10 \times \left(\right. a + b \left.\right)\) \(480 = 20 \left(\right. a + b \left.\right)\) \(a + b = \frac{480}{20} = 24\)

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là:

\(S_{đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}} = a \times b\)

Vì bài toán không cho biết thêm điều kiện nào về \(a\) và \(b\), nên có vô số cặp giá trị \(\left(\right. a , b \left.\right)\) thỏa mãn \(a + b = 24\). Diện tích đáy sẽ phụ thuộc vào giá trị cụ thể của \(a\) và \(b\). Nếu có thêm điều kiện khác, ta có thể tính chính xác hơn.

Chúng ta cần chứng minh \(H I\) là tia phân giác của \(\angle M H N\), tức là chứng minh \(\frac{I M}{I N} = \frac{H M}{H N}\).

Chứng minh:

1. Xét tam giác \(\triangle A B C\) và các đường phụ trợ:
2. • \(A H\) là đường cao nên \(H\) là trực tâm tam giác \(A B C\).
   • \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(H\).
   • Các tia \(B I\) và \(C I\) cắt \(A C\) và \(A B\) tại \(M\) và \(N\).
3. Sử dụng định lý Ceva cho tam giác \(\triangle A B C\):
   Xét điểm \(I\) trên đường cao \(A H\), ta có:
   \(\frac{I M}{I N} = \frac{A M}{A N} \cdot \frac{sin ⁡ \angle B A M}{sin ⁡ \angle C A N}\)
   Do \(H\) là trực tâm nên các góc \(\angle H B C = \angle H A C\) và \(\angle H C B = \angle H B A\).
4. Sử dụng tính chất của trực tâm:
5. • Trong tam giác \(\triangle A B H\), đường cao \(A H\) tạo các góc đối đỉnh với góc trong tam giác \(A B C\), từ đó ta có: \(\angle H A N = \angle H B C , \angle H A M = \angle H C B\)
   • Suy ra \(\frac{A M}{A N} = \frac{H M}{H N}\), từ đó dẫn đến: \(\frac{I M}{I N} = \frac{H M}{H N}\)
6. Kết luận:
   Vì \(\frac{I M}{I N} = \frac{H M}{H N}\), theo tính chất đường phân giác, \(H I\) chính là tia phân giác của \(\angle M H N\).

Vậy ta đã chứng minh được \(H I\) là tia phân giác của \(\angle M H N\). \(\square\)

đay!!! Chờ chút hem:Dưới đây là một số ý tưởng nhanh cho đoạn văn thể hiện tình cảm, cảm xúc về một buổi ngoại khóa của trường hoặc lớp:

1. Mở đầu: Giới thiệu về buổi ngoại khóa (Thời gian, địa điểm, mục đích). Ví dụ: "Tuần trước, lớp em đã có một buổi ngoại khóa đầy thú vị tại công viên sinh thái. Đây là cơ hội để cả lớp thư giãn sau những ngày học tập căng thẳng."
2. Diễn biến:
3. • Hoạt động: Tham gia trò chơi tập thể, tham quan, học hỏi kỹ năng mới, dã ngoại, lửa trại, v.v.
   • Cảm xúc: Hồi hộp, háo hức khi chuẩn bị, vui vẻ khi tham gia, ấn tượng sâu sắc với một hoạt động nào đó.
4. Khoảnh khắc đáng nhớ:
5. • Một sự kiện bất ngờ, hài hước, cảm động hoặc ý nghĩa (như giúp đỡ bạn bè, cùng nhau vượt qua thử thách).
   • Sự đoàn kết, gắn kết của tập thể.
6. Kết luận:
7. • Cảm nghĩ chung: “Buổi ngoại khóa không chỉ giúp em học được nhiều điều bổ ích mà còn tạo ra những kỷ niệm khó quên.”
   • Mong muốn: “Em mong rằng sẽ có thêm nhiều chuyến đi thú vị như thế này để gắn kết tình bạn hơn.”

Bạn có thể dựa vào đây để viết đoạn văn nhanh nhé! 🚀

viết bài văn,có thể tham khảo:

Buổi ngoại khóa đáng nhớ

Những buổi học trên lớp luôn mang lại cho em nhiều kiến thức bổ ích, nhưng những chuyến đi ngoại khóa lại giúp chúng em có thêm nhiều trải nghiệm thực tế và gắn kết hơn với bạn bè, thầy cô. Tuần trước, trường em tổ chức một buổi ngoại khóa tại công viên sinh thái, một nơi có khung cảnh thiên nhiên tươi đẹp và không khí trong lành. Đây không chỉ là một chuyến đi chơi mà còn là cơ hội để chúng em học hỏi thêm nhiều điều thú vị về môi trường và tinh thần đồng đội.

Ngay từ sáng sớm, sân trường đã rộn ràng tiếng cười nói của các bạn học sinh háo hức chờ đợi. Ai nấy đều chuẩn bị sẵn sàng với ba lô đầy đủ nước uống, đồ ăn nhẹ và mũ nón để bảo vệ sức khỏe dưới trời nắng. Khi thầy cô điểm danh xong, cả lớp nhanh chóng lên xe để bắt đầu chuyến hành trình. Trên xe, không khí vô cùng náo nhiệt. Chúng em cùng nhau hát hò, kể chuyện, thỉnh thoảng lại trêu chọc nhau khiến thời gian di chuyển dường như trôi qua rất nhanh. Khi xe dừng bánh, trước mắt chúng em là một không gian xanh mát với những hàng cây cao vút, những thảm cỏ trải dài và một dòng suối nhỏ róc rách chảy. Ai cũng hít một hơi thật sâu để tận hưởng bầu không khí trong lành mà hiếm khi có được giữa thành phố nhộn nhịp.

Sau khi nghỉ ngơi một chút, chúng em bắt đầu tham gia các hoạt động do thầy cô tổ chức. Mở đầu là phần giới thiệu về hệ sinh thái nơi đây. Chúng em được tìm hiểu về nhiều loài thực vật, động vật, cách chúng sinh trưởng và tác động của con người đến môi trường. Những bài học thực tế này khiến em càng thêm yêu thiên nhiên và hiểu được tầm quan trọng của việc bảo vệ môi trường sống. Sau đó, chúng em được chia thành từng nhóm để tham gia các trò chơi tập thể.

Trò chơi đầu tiên là kéo co, một trò đòi hỏi sự đoàn kết và sức mạnh tập thể. Nhóm em ra sức kéo, chân bám chặt xuống đất, cả đội đồng thanh hô khẩu hiệu để tiếp thêm sức mạnh. Khi sợi dây kéo về phía mình, cả đội nhảy lên vui sướng trong tiếng reo hò vang dội. Tiếp theo, chúng em tham gia nhảy bao bố, một trò chơi tuy đơn giản nhưng lại mang đến rất nhiều tiếng cười. Đến trò truy tìm kho báu, mọi người càng phấn khích hơn. Chúng em phải tìm các manh mối ẩn giấu trong công viên để đến được kho báu cuối cùng. Cả nhóm cùng nhau suy nghĩ, thảo luận và chia nhau tìm kiếm, nhờ vậy mà tinh thần đồng đội càng thêm gắn kết.

Nhưng có lẽ khoảnh khắc đáng nhớ nhất trong buổi ngoại khóa chính là phần thử thách "kết nối đồng đội". Nhiệm vụ của chúng em là cùng nhau vượt qua một thử thách mà không ai bị bỏ lại phía sau. Có những lúc tưởng chừng như không thể hoàn thành, nhưng nhờ sự đoàn kết và quyết tâm, cả lớp đã cùng nhau chinh phục thử thách. Giây phút lớp em giành chiến thắng, ai cũng vỡ òa trong niềm vui, cảm giác tự hào lan tỏa trong từng ánh mắt và nụ cười.

Buổi chiều, chúng em dành thời gian nghỉ ngơi, ăn uống và tận hưởng thiên nhiên. Ngồi dưới bóng cây râm mát, lắng nghe tiếng chim hót, hít thở bầu không khí trong lành, em cảm thấy tâm hồn mình thật thư thái. Trước khi rời đi, cả lớp cùng nhau chụp ảnh kỷ niệm để lưu giữ những khoảnh khắc đáng nhớ này.

Khi xe lăn bánh trở về trường, ai cũng luyến tiếc vì một ngày vui đã trôi qua quá nhanh. Tuy nhiên, điều quan trọng là chúng em đã có thêm nhiều bài học ý nghĩa, hiểu nhau hơn và có những kỷ niệm đẹp bên nhau. Em mong rằng trong tương lai, trường sẽ tổ chức thêm nhiều buổi ngoại khóa như thế này để chúng em vừa học tập, vừa trải nghiệm, đồng thời gắn kết hơn với bạn bè và thầy cô. Đây chắc chắn sẽ là một kỷ niệm đáng nhớ trong quãng đời học sinh của em.

Chúng ta cần tìm hai số dương khác nhau \(x\) và \(y\) sao cho:

• Tổng \(x + y\) tỉ lệ nghịch với 35.
• Hiệu \(x - y\) tỉ lệ nghịch với 210.
• Tích \(x y\) tỉ lệ nghịch với 12.

Bước 1: Biểu diễn các điều kiện

Vì các đại lượng tỉ lệ nghịch với các số đã cho, nên tồn tại một hằng số \(k\) sao cho:

\(\left(\right. x + y \left.\right) \cdot 35 = k\) \(\left(\right. x - y \left.\right) \cdot 210 = k\) \(x y \cdot 12 = k\)

Do đó, ta có hệ phương trình:

\(\left(\right. x + y \left.\right) = \frac{k}{35}\) \(\left(\right. x - y \left.\right) = \frac{k}{210}\) \(x y = \frac{k}{12}\)

Bước 2: Giải hệ phương trình

Cộng và trừ hai phương trình đầu tiên:

\(x + y = \frac{k}{35}\) \(x - y = \frac{k}{210}\)

Cộng lại:

\(2 x = \frac{k}{35} + \frac{k}{210}\) \(2 x = \frac{6 k}{210} + \frac{k}{210} = \frac{7 k}{210}\) \(x = \frac{7 k}{420} = \frac{k}{60}\)

Tương tự, trừ hai phương trình:

\(2 y = \frac{k}{35} - \frac{k}{210}\) \(2 y = \frac{6 k}{210} - \frac{k}{210} = \frac{5 k}{210}\) \(y = \frac{5 k}{420} = \frac{k}{84}\)

Từ phương trình tích:

\(\left(\right. \frac{k}{60} \left.\right) \cdot \left(\right. \frac{k}{84} \left.\right) = \frac{k}{12}\) \(\frac{k^{2}}{5040} = \frac{k}{12}\)

Nhân chéo:

\(k^{2} = \frac{5040 k}{12}\) \(k^{2} = 420 k\) \(k \left(\right. k - 420 \left.\right) = 0\)

Do \(k \neq 0\), suy ra \(k = 420\).

Bước 3: Tính giá trị của \(x\) và \(y\)

\(x = \frac{420}{60} = 7\) \(y = \frac{420}{84} = 5\)

Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện

• \(x + y = 7 + 5 = 12\), kiểm tra: \(12 \times 35 = 420\) ✅
• \(x - y = 7 - 5 = 2\), kiểm tra: \(2 \times 210 = 420\) ✅
• \(x y = 7 \times 5 = 35\), kiểm tra: \(35 \times 12 = 420\) ✅

Vậy hai số cần tìm là \(x = 7 , y = 5\).

Dưới đây là câu trả lời cho từng phần:

a)

• Từ "Thế nhưng": Dùng để liên kết câu, thể hiện sự đối lập giữa hai vế trong đoạn văn. Cụ thể, câu trước nói Gà Trống Rừng có tiếng gáy hay, ai cũng thích nghe, nhưng câu sau lại nói lão Hổ Vằn không thích tiếng gáy đó.
• Từ "đó": Là đại từ dùng để thay thế cho "tiếng gáy rất hay của Gà Trống Rừng", giúp câu văn tránh lặp từ và trở nên gọn hơn.

b)

• Từ "chúng": Là đại từ dùng để thay thế cho "Chào mào, sáo sậu, sáo đen", giúp câu văn súc tích hơn và tránh lặp lại cụm danh từ dài.

c)

• Từ "nó": Là đại từ thay thế cho "Sông Hương", giúp câu văn mạch lạc hơn mà không cần nhắc lại danh từ chính.
• Ây za,tui tới năm 2025 mới coá thể giải giúp bạn.Xin thứ lỗi!!!

☆Mai và Hậu là đôi bạn thân. Một lần, Mai vô tình làm hỏng đồ chơi của Hậu. Hậu vốn khó tính nên Mai rất sợ bị bạn mắng oan. Nhưng ngược lại, Hậu còn hiền lành bảo: "Yên tâm, để tớ mua cái mới là xong mà!". Mai rất khó hiểu khi thấy bạn có chút khác lạ.

☆Thảo có một đứa em trai tên Trung. Hôm nay, mẹ cho hai chị em đi chơi. Trung háo hức tới mức vội vã chạy đi nhưng quên không tắt TV. Thảo bất lực tắt hộ TV của cậu em tinh nghịch. Chị mách mẹ nhưng mẹ không những không nghe mà còn nói to: "Nó bé thì quên chút có sao đâu, thôi chuẩn bị lên xe đi không muộn giờ!". Thảo chỉ còn cách là nghe theo mẹ.

Chúng ta cần chứng minh rằng các số nguyên dương \(a , b , c , d\) là hợp số, tức là không phải số nguyên tố, khi thỏa mãn điều kiện:

Bước 1: Phân tích điều kiện đã cho

Ta có điều kiện:

Điều này có nghĩa là:

Xét tính chẵn lẻ của \(a^{2} b^{2}\)

• Vì \(a^{2}\) và \(b^{2}\) luôn là số chính phương, nên chúng có thể là chẵn hoặc lẻ.
• \(a^{2} b^{2}\) sẽ là:
• • Chẵn nếu ít nhất một trong hai số \(a , b\) là số chẵn.
  • Lẻ nếu cả hai số \(a , b\) đều là lẻ.

Xét tính chẵn lẻ của \(c^{2} + d^{2}\)

• Vì \(c^{2}\) và \(d^{2}\) là số chính phương, ta có:
• • Nếu \(c , d\) cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì \(c^{2} + d^{2}\) chẵn.
  • Nếu một số chẵn, một số lẻ thì \(c^{2} + d^{2}\) lẻ.

Vì \(a^{2} b^{2} - c^{2} - d^{2}\) chẵn, ta suy ra:

Điều này có nghĩa là cả hai vế đều cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Bước 2: Chứng minh \(a , b , c , d\) là hợp số

Trường hợp 1: Ít nhất một trong \(a , b\) chẵn

• Nếu một trong hai số \(a , b\) chẵn, thì số đó không phải số nguyên tố (trừ trường hợp đặc biệt là số 2).
• Nếu \(a , b \geq 2\), thì chúng có thể phân tích thành tích của hai số nhỏ hơn, nghĩa là chúng là hợp số.

Trường hợp 2: Cả \(a , b\) đều lẻ

• Khi đó, \(a^{2} b^{2}\) là lẻ.
• Vì \(a^{2} b^{2} \equiv c^{2} + d^{2} \left(\right. m o d 2 \left.\right)\), nên \(c^{2} + d^{2}\) cũng lẻ, nghĩa là một trong hai số \(c , d\) lẻ, số còn lại chẵn.
• Do đó, số chẵn (trong \(c , d\)) là hợp số, vì số chẵn lớn hơn 2 luôn là hợp số.

Trường hợp 3: Ít nhất một trong \(c , d\) chẵn

• Nếu \(c\) hoặc \(d\) chẵn và lớn hơn 2, thì số đó là hợp số.
• Nếu \(c\) hoặc \(d\) lẻ nhưng lớn hơn 3, thì nó cũng là hợp số.

Kết luận

Trong mọi trường hợp, ít nhất một trong bốn số \(a , b , c , d\) là hợp số. Vậy \(a , b , c , d\) là hợp số. \(\square\)