1/

Xét tg vuông ABH có

\(AH^2=AE.AB\)  (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông ACH có

\(AH^2=AF.AC\)  (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\) (cùng bằng \(AH^2\) )

2/

\(HE\perp AB\) (gt)

\(AC\perp AB\) (gt) \(\Rightarrow AF\perp AB\)

=> AF//HE (cùng vuông góc với AB) (1)

Ta có

\(HF\perp AC\) (gt)

\(AB\perp AC\) (gt) \(\Rightarrow AE\perp AC\)

=> AE//HF (cùng vuông góc với AC) (2)

Từ (1) và (2) => AEHF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hình bình hành )

=> AE = HF

Xét tg vuông AHC có

\(HF^2=AF.FC\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AE^2=AF.FC\)

3/

E; F cùng nhìn AH dưới góc \(90^o\)

=> AEHF là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{EFH}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EH) (1)

\(\widehat{AEF}=\widehat{EFH}\) (góc so le trong) (2)

\(\widehat{AEF}=\widehat{IEB}\) (góc đối đỉnh) (3)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) ) (4)

Xét tg IBE và tg IFC có

Từ (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow\widehat{IEB}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{EIB}\) chung

=> tg IBE đồng dạng với tg IFC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{IB}{IF}\Rightarrow IE.IF=IB.IC\)

4/

Ta có

\(\widehat{BAK}+\widehat{BAM}=\widehat{MAK}=90^o\)

\(\widehat{CAM}+\widehat{BAM}=\widehat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{CAM}\)

Mà \(AM=\dfrac{BC}{2}=MB=MC\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg AMC cân tại M \(\Rightarrow\widehat{CAM}=\widehat{ACM}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{BAK}\)

Xét tg ABK và tg ACK có

\(\widehat{AKC}\) chung

\(\widehat{BAK}=\widehat{ACM}\) (cmt)

=> tg ABK đồng dạng với tg ACK (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{KB}{AK}=\dfrac{AK}{KC}\Rightarrow AK^2=KB.KC\)

Xét tg vuông AKM có

\(AK^2=KH.KM\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow KH.KM=KB.KC\)

1/

\(N=1.\left(2-1\right)+2\left(3-1\right)+3\left(4-1\right)+...+99\left(100-1\right)=\)

\(=\left(1.2+2.3+3.4+...+99.100\right)-\left(1+2+3+...+99\right)=\)

Đặt 

\(A=1.2+2.3+3.4+...+99.100\)

\(3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+99.100.3=\)

\(=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+99.100.\left(101-98\right)=\)

\(=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-...-98.99.100+99.100.101=\)

\(=99.100.101\Rightarrow A=\dfrac{99.100.101}{3}=33.100.101\)

Đặt

\(B=1+2+3+...+99=\dfrac{99.\left(1+99\right)}{2}=4950\)

\(\Rightarrow N=A-B\)

2/

Số hạng cuối cùng là 10000 hoặc 1000000 mới làm được

\(A=1^2+2^2+3^2+...+100^2\) 

Tính như câu 1

3/ Làm như bài 4

4/

\(S=1^2+3^2+5^2+...+99^2=\)

\(=1.\left(3-2\right)+3\left(5-2\right)+5\left(7-2\right)+...+99\left(101-2\right)=\)

\(=\left(1.3+3.5+5.7+...+99.101\right)-2\left(1+3+5+...+99\right)\)

Đặt

\(B=1+3+5+...+99=\dfrac{50.\left(1+99\right)}{2}=2500\) 

Đặt

\(A=1.3+3.5+5.7+...+99.101\)

\(6A=1.3.6+3.5.6+3.7.6+...+99.101.6=\)

\(=1.3.\left(5+1\right)+3.5.\left(7-1\right)+5.7.\left(9-3\right)+...+99.101.\left(103-97\right)=\)

\(=1.3+1.3.5-1.3.5+3.5.7-3.5.7+5.7.9-...-97.99.101+99.101.103=\)

\(=3+99.101.103\Rightarrow A=\dfrac{3+99.101.103}{6}\)

\(\Rightarrow S=A-2B\)

\(\widehat{A}=\widehat{B}=\left(180^o-\widehat{C}\right):2\) (Tổng các góc trong của tam giác bằng 280 độ)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\left(180^o-40^o\right):2=70^o\)

3/7 số thứ nhất = 2/5 số thứ hai = 4/9 số thứ ba

=> 12/28 số thứ nhất = 12/30 số thư hai = 12/27 số thư ba

=> 1/28 số thứ nhất = 1/30 số thứ hai = 1/27 số thư ba

Chia số thư nhất thành 28 phần thì số thứ hai là 30 phần và số thứ ba là 27 phần

Tổng số phần bằng nhau là

28+30+27=85 phần

Giá trị 1 phần là

935:85=11

Số thứ nhất là

11x28=308

Số thứ hai là

11x30=330

Số thứ ba là

11x27=297

Phân số thứ ba là

\(\dfrac{23}{12}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{3}{4}\)

Phân số thứ hai là

\(\dfrac{17}{12}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{3}\)

Phân số thứ nhất là

\(\dfrac{7}{6}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}\)

\(7^{4n}-1=\left(7^4\right)^n-1\)

\(7^4\) có chữ số hàng đơn vị ở kết quả =1

\(\Rightarrow\left(7^4\right)^n\)có chữ số hàng đơn vị ở kết quả =1

\(\Rightarrow\left(7^4\right)^n-1\)có chữ số hàng đơn vị ở kết quả =0

\(\Rightarrow7^{4n}-1⋮5\)

Ta có A và N cùng nhìn MC dưới góc 90 độ

=> AMNC là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BAN}=\widehat{BCM}\) (góc nội tiếp cùng chắn cungMN)

Xét tg ABN và tg CBM có

\(\widehat{BAN}=\widehat{BCM}\) (cmt)

\(\widehat{ABC}\) chung

=> tg ABN đồng dạng tg CBM (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{CM}=\dfrac{AB}{BC}\)

Xét tg vuông ABC

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{C}=\dfrac{AN}{CM}\) (đpcm)

\(2T=2^2+2^3+2^4+...+2^{2009}\)

\(T=2T-T=2^{2009}-2=2\left(2^{2008}-1\right)\)

a/ 

Ta có

AB//CD => AB//CE

BE//AC (gt)

=> ABEC là hình bình hành (Tứ giác có hai cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)

=> BE=AC (cạnh đối hbh)

Mà AC = BD (gt)

=> BE = BD => tg BDE là tg cân

b/

\(\widehat{BED}=\widehat{ACD}\) (góc đồng vị)

\(\widehat{BDE}=\widehat{BED}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BDE}\) (1)

Ta có

CD chung (2); AC = BD (gt) (3)

Từ (1) (2) (3) => tg ACD = tg BDC (c.g.c)

c/

tg ACD = tg BDC (cmt) => AD = BC

=> hình thang ABCD là hình thang cân

\(2.2^2.2^3.....2^x=2^{\left(1+2+3+...+x\right)}< 2^{11}\)

\(\Rightarrow1+2+3+...+x< 11\)

\(\Rightarrow\dfrac{x\left(1+x\right)}{2}< 11\Leftrightarrow x\left(1+x\right)< 22\)

x(1+x) là tích của 2 số TN liên tiếp

Tích của 2 số TN liên tiếp lớn nhất <22 chỉ có thể là 4x5

=> x=4 là số TN lớn nhất thỏa mãn đề bài