\(n=a^2+b^2\)

\(\Rightarrow n^2=\left(a^2+b^2\right)^2-4a^2b^2+4a^2b^2=\)

\(=\left(a^2+b^2-2ab\right)\left(a^2+b^2+2ab\right)+\left(2ab\right)^2=\)

\(=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2+\left(2ab\right)^2=\)

\(=\left[\left(a-b\right)\left(a+b\right)\right]^2+\left(2ab\right)^2=\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k(k+1)(k+2).4=

=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]=

=1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+3.4.5.6-...-(k-1)k(k+1)(k+2)+k(k+1)(k+2)(k+3)=

=k(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+3)(k+1)(k+2)=

=(k²+3k)(k²+3k+2)=(k²+3k)²+2(k²+3k)

=> 4S+1=(k²+3k)²+2(k²+3k)+1=[(k²+3k)+1]²

\(B=n^2-2.n.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+12,25=\)

\(=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2+12,25\ge12,25\)

B là số chính phương

\(\Rightarrow n^2-n+13=p^2\) 

\(\Leftrightarrow4n^2-4n+52=4p^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)^2+51=4p^2\)

\(\Leftrightarrow4p^2-\left(2n-1\right)^2=51\)

\(\Leftrightarrow\left(2p-2n+1\right)\left(2p+2n-1\right)=51\)

\(\Rightarrow\left(2p-2n+1\right)\) và \(\left(2p+2n-1\right)\) phải là ước của 51

\(=\left\{-51;-17;-3-1;1;3;17;51\right\}\)

Ta có các trường hợp

\(\left\{{}\begin{matrix}2p-2n+1=-51\\2p+2n-1=-1\end{matrix}\right.\) giải hệ để tìm n

Tương tự với các trường hợp khác

Nếu bớt số bị chia đi 24 đơn vị ta được số bị chia mới chia hết cho số chia và được thương là 3

=> số bị chia mới gấp 3 lần số chia

Khi đó hiệu giữa số bị chia mới và số chia là

218-24=194

Chia số bị chia mới thành 3 phần bằng nhau thì số chia là 1 phần

Hiệu số phần bằng nhau là

3-1=2 phần

Giá trị 1 phần hay số chia là

194:2=97

Số bị chia ban đầu là

97x3+24=315

2/3 số gạo kho 1 = 3/5 số gạo kho 2

=> 6/9 số gạo kho 1 = 6/10 số gạo kho 2

=> 1/9 số gạo kho 1 = 1/10 số gạo kho 2

Chia số gạo kho 1 thành 9 phần bằng nhau thì số gạo kho 2 là 10 phần như thế

Tổng số phần bằng nhau là

9+10=19 phần

Giá trị 1 phần là

950:19=50 tấn

Số gạo kho 1 là

9x50=450 tấn

Số gạo kho 2 là

950-450=500 tấn

Số gạo kho2 hơn số gạo kho 1 là

500-450=50 tấn

\(=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=\)

\(=n^2\left[n^2\left(n^2-1\right)+2\left(n+1\right)\right]=\)

\(=n^2\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=\)

\(=n^2\left[\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\right]=\)

\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\right\}=\)

\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\right\}=\)

\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\right\}=\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-n+1\right)-n^2\left(n+1\right)^2\left(n-1\right)=\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left[\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\right]=\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\) Giả sử đây là số chính phương

\(\Rightarrow n^2-2n+2\) Phải là số chính phương

Ta có

\(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\Rightarrow n^2-2n+2>\left(n-1\right)^2\) (1)

Ta có

\(n^2-2n+2=n^2-2\left(n-1\right)\) Với n>1

\(\Rightarrow n^2-2n+2< n^2\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)^2< n^2-2n+2< n^2\)

Mà \(\left(n-1\right)^2\) và \(n^2\) là hai số chính phương liên tiếp nên \(n^2-2n+2\) không phải là số chính phương

=> Biểu thức đề bài đã cho không phải là số chính phương

1/

Ta có

sđ cung AC = sđ cung BC (1)

\(sđ\widehat{CFG}=\dfrac{1}{2}\left(sđcungBC+sđcungAE\right)\) (góc có đỉnh ở trong hình tròn) (2)

\(sđ\widehat{CHE}=\dfrac{1}{2}sđcungCAE=\dfrac{1}{2}\left(sđcungAC+sđcungAE\right)\) (góc nội tiếp) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{CFG}=\widehat{CHE}\)

Ta có

\(\widehat{CFG}+\widehat{EFG}=\widehat{EFC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CHE}+\widehat{EFG}=180^o\)

=> EFGH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc đối bù nhau là tứ giác nội tiếp)

2/

sđ cung AC = sđ cung BC (4)

\(sđ\widehat{AGC}=\dfrac{1}{2}\left(sđcungAC+sđcungBH\right)\) (5) (góc có đỉnh ở trong hình tròn)

\(sđ\widehat{CHy}=\dfrac{1}{2}sđcungCBH=\dfrac{1}{2}\left(sđcungBC+sđcungBH\right)\) (6) (Góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\widehat{AGC}=\widehat{CHy}\)

Mà AC = AG (gt) => tgACG cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AGC}=\widehat{ACG}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACG}=\widehat{CHy}\) mà 2 góc trên ở vị trí so le trong => xy//AC

a/

\(=6^2-\left[\left(2x\right)^2-2.2x.5y+\left(5y\right)^2\right]=\)

\(6^2-\left(2x-5y\right)^2=\left[6-\left(2x-5y\right)\right].\left[6+\left(2x-5y\right)\right]\)

a/

\(a=1.2.4+2.3.4+3.4.4+...+15.16.4=\)

\(=4\left(1.2+2.3+3.4+...+15.16\right)=\)

Đặt bt trong ngoặc đơn là A

\(3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+15.16.3=\)

\(=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+15.16.\left(17-14\right)=\)

\(=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-...-14.15.16+15.16.17=\)

\(=15.16.17\Rightarrow A=\dfrac{15.16.17}{3}=5.16.17\)

\(\Rightarrow a=4A=4.5.16.17\)

b/

\(b=1.\left(2-1\right)+2.\left(3-1\right)+3.\left(4-1\right)+...+20.\left(21-1\right)=\)

\(=\left(1.2+2.3+3.4+...+20.21\right)-\left(1+2+3+...+20\right)=\)

Biểu thức trong dấu ngoặc đơn thứ nhất tính như tính A ở câu a. Biểu thức trong dấu ngoặc đơn thứ 2 là tính tổng 1 cấp số cộng.

\(a=111...11\) (2n chữ số 1)

\(9a=999...99\) (2n chữ số 9)

\(9a+1=1000...00\) (2n chữ số 0) 

\(\Rightarrow9a+1=10^{2n}\Rightarrow a=\dfrac{10^{2n}-1}{9}\)

Tương tự ta cũng có

\(b=\dfrac{10^{n+1}-1}{9}=\dfrac{10.10^n-1}{9}\)

\(c=\dfrac{10^n-1}{9}\)

\(\Rightarrow a+b+6c+8=\)

\(\dfrac{10^{2n}}{9}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{10.10^n}{9}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{6.10^n}{9}-\dfrac{6}{9}+8=\)

\(=\dfrac{10^{2n}}{9}+\dfrac{16.10^n}{9}+\dfrac{64}{9}=\)

\(=\left(\dfrac{10^n}{3}\right)^2+2.\dfrac{10^n}{3}.\dfrac{8}{3}+\left(\dfrac{8}{3}\right)^2=\)

\(=\left(\dfrac{10^n}{3}+\dfrac{8}{3}\right)^2\) Là một số chính phương