a/

ta có

\(\widehat{ACB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông ABC có

\(\widehat{ABC}=90^o-\widehat{CAB}=90^o-30^o=60^o\)

Xét tg OBC có

OB=OC => tg OBC cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OCB}=\widehat{ABC}=60^o\Rightarrow\widehat{BOC}=60^o\)

=> tg OBC là tg đều

Xét tg ABC và tg MOC có

BC=OC=R

AB=OM=2R

\(\widehat{ABC}=\widehat{MOC}=60^o\)

=> tg ABC = tg MOC (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{OCM}=90^o\Rightarrow MC\perp OC\)

b/

Xét tg vuông MOC có

\(MC=\sqrt{OM^2-OC^2}\) (Pitago)

\(\Rightarrow MC=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

\(\left(a+b+c\right)^2=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)=\)

\(=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2=\)

\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

a/

Ta có 

\(BM\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{AMB}=90^o\)

\(CN\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{ANC}=90^o\)

=> M và N cùng nhìn AH dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\)

=> M và N thuốc đường tròn tâm O đường kính AH với O là trung điểm của AH

b/ AH cắt BC tại D

Ta có \(AH\perp BC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Xét tg vuông AHC có

\(\widehat{CAH}+\widehat{ACB}=90^o\) (1)

Xét tg vuông AMH 

\(OA=OH\left(cmt\right)\Rightarrow OA=OH=MO=\dfrac{AH}{2}\) (trong tg vuông đường trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg OAM cân tại O \(\Rightarrow\widehat{CAH}=\widehat{OMA}\) (2)

Xét tg vuông BMC, c/m tương tự ta cũng có

\(IB=IC=MI=\dfrac{BC}{2}\)

=> tg ICM cân tại I \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{IMC}\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{OMA}+\widehat{IMC}=\widehat{CAH}+\widehat{ACB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OMI}=\widehat{AMC}-\left(\widehat{OMA}+\widehat{IMC}\right)=180^o-90^o=90^o\)

\(\Rightarrow IM\perp OM\) => IM là tiếp tuyến với (O)

\(a^2+ab=c^2+bc\Leftrightarrow a\left(a+b\right)=c\left(b+c\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)=\dfrac{c\left(b+c\right)}{a}\)

\(a^2+ac=b^2+bc\Leftrightarrow a\left(a+c\right)=b\left(b+c\right)\Leftrightarrow\left(a+c\right)=\dfrac{b\left(b+c\right)}{a}\)

\(K=\left(\dfrac{a+b}{b}\right)\left(\dfrac{b+c}{c}\right)\left(\dfrac{a+c}{a}\right)=\dfrac{c\left(b+c\right)}{ab}.\dfrac{\left(b+c\right)}{c}.\dfrac{b\left(b+c\right)}{a^2}=\)

\(=\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^3\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\Rightarrow\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{2a^2}{2c^2}=\dfrac{3b^2}{3d^2}=\dfrac{2a^2-3b^2}{2c^2-3d^2}\) (1)

Từ

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{b^2}{d^2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{2a^2-3b^2}{2c^2-3d^2}=\dfrac{ab}{cd}\)

Ta có

\(S\in DM\Rightarrow S\in\left(DMN\right);S\in\left(SAB\right)\) 

Trong mp (ABCD) DN kéo dài cắt AB tại P

\(P\in DN\Rightarrow P\in\left(DMN\right);P\in AB\Rightarrow P\in\left(SAB\right)\)

=> SP là giao tuyến của (DMN) với (SAB)

a/

Ta có

\(CD=BC+BD=3a+2a=5a\)

Xét tg vuông ABC và tg vuông DEC có \(\widehat{ACB}\) chung

=> tg ABC đồng dạng với tg DEC

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow DE.AC=AB.CD=2a.5a=10a^2\)

b/

Xét tg vuông ABC có

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{9a^2-4a^2}=a\sqrt{5}\) (Pitago)

Ta có

\(DE.AC=10a^2\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow DE=\dfrac{10a^2}{AC}=\dfrac{10a^2}{a\sqrt{5}}=2a\sqrt{5}\)

Đặt tuổi của Nam Khánh là n ta có

Tuổi Gia Huy là \(n+1\)

Tuổi của Hà Anh là \(n+1+1=n+2\) 

Theo đề bài

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) Tích số tuổi của 3 bạn là tích của 3 số TN liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=990=9.10.11\)

Vậy 

Tuổi của Nam Khánh là 9  tuổi

Tuổi Gia Huy là 10 tuổi

Tuaair Hà Anh là 11 tuổi

Với \(n=1\)

\(\Rightarrow10^n+18n-28=10+18-28=0⋮27\)

Giả sử với \(n=k\) thì

\(10^n+18n-28=10^k+18k-28⋮27\) 

Ta cần chứng minh với \(n=k+1\) thì \(10^n+18n-28⋮27\)

Với \(n=k+1\)

\(\Rightarrow10^n+18n-28=10^{k+1}+18\left(k+1\right)-28=\)

\(=10.10^k+18k+18-28=\)

\(=\left(10^k+18k-28\right)+9.10^k+18\)

Ta có \(10^k+18n-28⋮27\)

Ta có

\(9.10^k+18=9.\left(10^k+2\right)=9.1000...02\) ta thấy

\(1000...02⋮3\Rightarrow1000...02=3p\)

\(\Rightarrow9.10^k+18=9.\left(10^k+2\right)=9.1000...02=9.3p=27p⋮27\)

\(\Rightarrow10^{k+1}+18\left(k+1\right)-28⋮27\)

Theo nguyên lý phương pháp quy nạp

\(\Rightarrow10^n+18n-28⋮27\)

a/ Xét tg vuông ABM và tg vuông ACN có

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (Cùng phụ với \(\widehat{A}\) )

=> tg ABM đồng dạng với tg ACN (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AN.AB=AM.AC\)

b/ Xét tg BDM và tg CDN có

\(\widehat{BDM}=\widehat{CDN}\) (góc đối đỉnh); \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (cmt)

=> tg BDM đồng dạng tg CDN (g.g.g) 

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{NB}{MC}=\dfrac{2}{3}\)

c/